Question

小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動．當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水，
平距離d后落地，如圖所示，已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為

3

4

d，重力加速度為g．忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力．求：
（1）繩斷時球的速度大小v₁；
（2）繩能承受的最大拉力；
（3）改變繩長（繩承受的最大拉力不變），保持手的位置不動，使球重復(fù)上述運(yùn)動，若繩仍在球運(yùn)動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

分析：（1）繩斷后，小球做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的高度求出時間，根據(jù)水平位移和時間求出繩斷時球的速度大�。�
（2）根據(jù)在最低點，合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求出最大拉力．
（3）根據(jù)最大拉力，通過牛頓第二定律求出繩斷后的速度與繩長的關(guān)系，根據(jù)平拋運(yùn)動求出平拋運(yùn)動水平位移的表達(dá)式，通過數(shù)學(xué)方法二次函數(shù)求極值，求出l為多少時，x最大．

解答：解：（1）設(shè)繩斷后球做平拋運(yùn)動的時間為t₁，
豎直方向上：

1

4

d=

1

2

gt12，水平方向上：d=v₁t₁
解得v1=

2gd

．
（2）設(shè)繩能承受的最大拉力為F_m．
球做圓周運(yùn)動的半徑為R=

3

4

d
Fm-mg=m

v12

R

解得Fm=

11

3

mg．
（3）設(shè)繩長為l，繩斷時球的速度為v₂．
有：Fm-mg=m

v22

l

，解得v2=

8gl 3

．
繩斷后球做平拋運(yùn)動，豎直位移為d-l，水平位移為x，時間為t₂．
有：d-l=

1

2

gt22，x=v₂t₂．
得x=4

ld-l2 3

當(dāng)l=

d

2

時，x有極大值xmax=

2 3

3

d．
答：（1）繩斷時球的速度大小v1=

2gd

．
（2）繩能承受的最大拉力為Fm=

11

3

mg．
（3）要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為

d

2

，最大水平距離為xmax=

2 3

3

d．

點評：本題綜合了平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動兩個運(yùn)動，關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動規(guī)律，以及圓周運(yùn)動向心力的來源．