Question

14．某電視臺娛樂節(jié)目中的場地設(shè)施如圖所示，AB為水平直軌道，上面裝有質(zhì)量為20kg的載人電動懸掛器．水面上有一個半徑R為2m的固定轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的軸心離平臺的水平距離L為8m，平臺邊緣與轉(zhuǎn)盤平面的高度差H為5m．一質(zhì)量為60kg的選手抓住懸掛器后在電動機(jī)帶動下，從A點(diǎn)下方的平臺邊緣處開始沿水平方向做直線運(yùn)動，選手必須在合適的位置放手，才能順序落在轉(zhuǎn)盤上．（不計(jì)選手身高大小，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²）．
（1）為保證他落在距圓心1m范圍內(nèi)不會被甩出轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的角速度ω應(yīng)限值在什么范圍？設(shè)人與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，動摩擦因數(shù)μ=0.4．選手落到轉(zhuǎn)盤上時相對轉(zhuǎn)盤靜止．
（2）若懸掛器從靜止開始做加速度為2m/s²的勻加速直線運(yùn)動，要使選手從某處C點(diǎn)放手后恰好落到轉(zhuǎn)盤的圓心上，則AC的距離是多少？
（3）若電動懸掛器以176W的恒定功率從靜止開始運(yùn)動，選手仍從C點(diǎn)放手落到轉(zhuǎn)盤的圓心上，則他從平臺出發(fā)后經(jīng)多長時間落到轉(zhuǎn)盤上？（假設(shè)行駛過程中懸掛器受到水平直軌道的阻力與人和懸掛器總重成正比，比例系數(shù)為0.02）

Answer 1

分析 （1）選手在轉(zhuǎn)盤上轉(zhuǎn)動時，根據(jù)靜摩擦力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出轉(zhuǎn)盤角速度的范圍；
（2）抓住平拋運(yùn)動的水平位移和勻加速直線運(yùn)動的位移等于L，結(jié)合位移公式和速度公式求出勻加速運(yùn)動的時間；
（3）對于選手在水平軌道上滑行過程，電動機(jī)做功W=Pt，結(jié)合動能定理求水平段時間，再加上平拋運(yùn)動的時間，即可求出選手從平臺出發(fā)后落到轉(zhuǎn)盤上經(jīng)過的時間．

解答 解：（1）設(shè)選手落在距圓心1m的位置恰好不會被甩出轉(zhuǎn)盤的臨界角速度為ω₀，
根據(jù)最大靜摩擦力提供向心力：μ（m+M）g=（m+M）ω₀²$\frac{R}{2}$
可得轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角度：ω₀=$\frac{2μg}{R}$=$\frac{2×0.4×10}{2}$rad/s=4rad/s
所以轉(zhuǎn)盤的角速度ω應(yīng)滿足：ω≤ω₀=4rad/s
（2）水平加速段AC的位移為x₁，時間t₁；平拋時水平位移為x₂，時間為t₂，
則水平段AC加速時有：x₁=$\frac{1}{2}$at_l²
v=at_l
平拋運(yùn)動階段有：x₂=vt₂
H=$\frac{1}{2}$gt₂²
全程水平方向上有：L=x₁+x₂
代入已知量數(shù)值，聯(lián)立以上各式解得，AC段的時間：t₁=2s
AC的距離：x₁=4m
（3）根據(jù)行駛過程中懸掛器受到水平直軌道的阻力與人和懸掛器總重成正比，則：f=k（M+m）g=0.02×（60+20）×10N=16N
要使選手從C點(diǎn)放手仍落到轉(zhuǎn)盤的圓心上，AC的距離應(yīng)為x₁=4m，C點(diǎn)速度：v=at₁=4m/s
選手在水平軌道上滑行過程，根據(jù)動能定理有：Pt₃-fx₁=$\frac{1}{2}$（M+m）v²
解得：t₃=$\frac{\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}+f{x}_{1}}{P}$=$\frac{0.5×（60+20）×{4}^{2}+16×4}{176}$s=4s
所以，選手從平臺出發(fā)后落到轉(zhuǎn)盤上經(jīng)過的時間：t=t₃+t₂=t₃+$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=5s
答：（1）轉(zhuǎn)盤的角速度ω應(yīng)限制在ω≤4rad/s的范圍；
（2）要使選手從某處C點(diǎn)放手后恰好落到轉(zhuǎn)盤的圓心上，則AC的距離為4m；
（3）選手仍從C點(diǎn)放手落到轉(zhuǎn)盤的圓心上，則他從平臺出發(fā)后經(jīng)過4s落到轉(zhuǎn)盤上．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清選手的運(yùn)動過程，結(jié)合牛頓第二定律、平拋運(yùn)動的分位移公式、運(yùn)動學(xué)公式、動能定理靈活求解．