Question

如圖所示，板間距為d、板長為L的兩塊平行金屬板EF、GH 水平放置，在緊靠平行板右側(cè)的正三角形區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，三角形底邊BC與GH在同一水平線上，頂點(diǎn)A 與EF在同一水平線上．一個(gè)質(zhì)量為m、電量為-q的粒子沿兩板中心線以初速度v₀水平射入，若在兩板之間加某一恒定電壓，粒子離開電場后垂直AB 邊從D點(diǎn)進(jìn)入磁場，BD=1/4AB，并垂直AC邊射出（不計(jì)粒子的重力），求：
（1）兩極板間場強(qiáng)的方向
（2）粒子離開電場時(shí)瞬時(shí)速度的大��；
（3）兩極板間電壓的大��；
（4）三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（5）若兩板間不加電壓，三角形區(qū)域內(nèi)的磁場方向垂直紙面向里，要使粒子進(jìn)入磁場區(qū)域后能從AB 邊射出，試求所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)方向判斷電場力的方向，然后判斷電場的方向；
（2）粒子離開電場后速度垂直AB邊，由幾何知識可求出速度的偏向角，根據(jù)速度的分解則能求出粒子離開電場時(shí)瞬時(shí)速度的大小；
（3）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電壓．
（4）粒子垂直進(jìn)入三角形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由于粒子垂直AB邊射入和AC邊射出，由幾何知識求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（5）若兩板間不加電壓，三角形區(qū)域內(nèi)的磁場方向垂直紙面向里，當(dāng)粒子剛好與BC邊相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，作出軌跡，由幾何知識求出最小半徑，由牛頓第二定律即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．

解答：解：（1）粒子在電場中向下偏轉(zhuǎn)，故電場力向下，粒子帶負(fù)電，故場強(qiáng)方向垂直平行板向上；
（2）垂直AB邊進(jìn)入磁場，由幾何知識得：粒子離開電場時(shí)偏轉(zhuǎn)角為θ=30°
則粒子離開電場時(shí)瞬時(shí)速度的大小為：v=

v0

cosθ

=

2 3

3

v0
（3）在電場中受力豎直方向：v_y=

qU

md

（

L

v0

）
由幾何關(guān)系得：tanθ=

vy

v0

故：U=

3 md v 2 0

3qL

（4）由幾何關(guān)系得：L_AB=

d

cos30°

由圖可得粒子運(yùn)動(dòng)的圓心在O₁，設(shè)在磁場中運(yùn)動(dòng)半徑為r₁，則：r₁=

3

4

L_AB=

3

2

d
又：B₁qv=m

v2

r1

而：v=

v0

cosθ

=

2 3

3

v0
以上式子聯(lián)立得：B₁=

4mv0

3qd

由左手定律判斷得知，B₁的方向：垂直紙面向外

（5）當(dāng)粒子剛好與BC邊相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為r₂，
由幾何知識知：r₂=

d

4

B₂qv₀=m

v 2 0

r2

故：B₂=

4mv0

qd

，即磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值
答：（1）兩極板間場強(qiáng)的方向?yàn)榇怪逼叫邪逑蛏希?br />（2）粒子離開電場時(shí)瞬時(shí)速度的大小為

2 3

3

v0；
（3）兩極板間電壓的大小為

3 md v 2 0

3qL

；
（4）三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度為

4mv0

3qd

；
（5）所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值為

4mv0

qd

．

點(diǎn)評：本題粒子先在電場中偏轉(zhuǎn)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究；后在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫軌跡、幾何知識求出半徑是常用的方法和思路．