Question

16．如圖所示，輕彈簧的一端固定在傾角為30°的光滑直軌道AC的底端A處，另一端連接一質量為m的鋼板，鋼板靜止時，輕彈簧的壓縮量為x₀．一質量也為m的小滑塊從軌道上距鋼板為3x₀處的C點自由釋放，打在鋼板上后立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動，恰好能到達O點．已知重力加速度大小為g，小滑塊與鋼板均可視為質點，小滑塊與鋼板的碰撞時間極短可以忽略．
（1）求輕彈簧的勁度系數(shù)及小滑塊與鋼板碰完后速度最大時離O點的距離；
（2）求小滑塊與鋼板剛碰完時的速度；
（3）若小滑塊的質量為2m，仍從C點處自由釋放，則小滑塊沿軌道運動到最高點時離O點的距離．

Answer 1

分析 （1）研究鋼板靜止時的狀態(tài)，由平衡條件和胡克定律結合求彈簧的勁度系數(shù)．鋼板碰完后速度最大時合力為零，由平衡條件和胡克定律求速度最大位置到O點的距離．
（2）先研究碰撞前小滑塊下滑的過程，由動能定理求得碰撞前小滑塊的速度．再研究碰撞過程，由動量守恒定律求小滑塊與鋼板剛碰完時的速度．
（3）先研究質量為m的滑塊從碰撞完到O點的過程，由系統(tǒng)的機械能守恒列式．再研究小滑塊的質量為2m時的情況，由動量守恒定律和機械能守恒定律求小滑塊沿軌道運動到最高點時離O點的距離．

解答 解：（1）鋼板靜止時，有 mgsin30°=kx₀．
得 k=$\frac{mg}{2{x}_{0}}$
設小滑塊與鋼板碰完后速度最大時離O點的距離為x₁．此時小滑塊和鋼板的合力為零，則
   2mgsin30°=kx₁．
解得 x₁=2x₀．
（2）設滑塊與鋼板碰撞前的速度為v₀．碰前，由動能定理得：
  mg•3x₀sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{3g{x}_{0}}$
設碰撞后小滑塊與鋼板一起開始向下運動的速度為v，對于碰撞過程，取沿斜面向下方向為正方向，由動量守恒定律得：
   mv₀=2mv₁．
解得：v₁=$\frac{1}{2}\sqrt{3g{x}_{0}}$
（3）設剛碰撞完彈簧的彈性勢能為E_p．則從碰撞完到O點的過程中，由機械能守恒定律得：
  E_p+$\frac{1}{2}（2m）{v}_{1}^{2}$=2mgx₀sin30°
小滑塊的質量換成2m后，與鋼板碰撞時的速度大小仍為v₀．設碰撞后瞬間的速度大小v₂．返回O點時的速度為v₃．
碰撞過程由動量守恒定律得：
  2mv₀=3mv₂．
根據(jù)機械能守恒定律得：
   E_p+$\frac{1}{2}（3m）{v}_{2}^{2}$=3mgx₀sin30°+$\frac{1}{2}（3m）{v}_{3}^{2}$
設小滑塊從O點繼續(xù)上滑的距離為x，由動能定理得：
-2mgxsin30°=0-$\frac{1}{2}（2m）{v}_{3}^{2}$
解得：x=$\frac{{x}_{0}}{2}$
答：
（1）輕彈簧的勁度系數(shù)是$\frac{mg}{2{x}_{0}}$，小滑塊與鋼板碰完后速度最大時離O點的距離是2x₀．
（2）小滑塊與鋼板剛碰完時的速度是$\frac{1}{2}\sqrt{3g{x}_{0}}$；
（3）若小滑塊的質量為2m，仍從C點處自由釋放，則小滑塊沿軌道運動到最高點時離O點的距離是$\frac{{x}_{0}}{2}$．

點評 本題的關鍵要分析清楚物體的運動過程，把握每個過程的物理規(guī)律，如碰撞的基本規(guī)律：動量守恒定律．物體壓縮彈簧的過程，系統(tǒng)遵守機械能守恒定律，并要找出狀態(tài)之間的聯(lián)系．