Question

在光滑絕緣的水平桌面上，有兩個質(zhì)量均為m，電量為+q的完全相同的帶電粒子P₁和P₂，在小孔A處以初速度為零先后釋放．在平行板間距為d的勻強電場中加速后，P₁從C處對著圓心進入半徑為R的固定圓筒中（筒壁上的小孔C只能容一個粒子通過），圓筒內(nèi)有垂直水平面向上的磁感應強度為B的勻強磁場．P₁每次與筒壁發(fā)生碰撞均無電荷遷移，P₁進入磁場第一次與筒壁碰撞點為D，∠COD=θ，如圖所示．延后釋放的P₂，將第一次欲逃逸出圓筒的P₁正碰圓筒內(nèi)，此次碰撞剛結(jié)束，立即改變平行板間的電壓，并利用P₂與P₁之后的碰撞，將P₁限制在圓筒內(nèi)運動．碰撞過程均無機械能損失．設d=

5

8

πR，求：在P₂和P₁相鄰兩次碰撞時間間隔內(nèi)，粒子P₁與筒壁的可能碰撞次數(shù)．
附：部分三角函數(shù)值

φ	2π 5	π 3	π 4	π 5	π 6	π 7	π 8	π 9	π 10
tanφ	3.08	1.73	1.00	0.73	0.58	0.48	0.41	0.36	0.32

Answer 1

粒子在磁場中勻速圓周運動的周期T=

2πm

qB

，
    由幾何知識，得半徑r=Rtan

θ

2

=

mv

qB

      從C到D的時間t_CD=

π-θ

2π

T
     P₁、P₂每次碰撞都應當在C點．
    設P₁在圓筒內(nèi)轉(zhuǎn)動了n圈和筒壁碰撞了K次后與P₂相碰于C點，則K+1=

2πn

θ

    所以兩粒子每次碰撞的時間間隔t=t_CD（K+1）=

2πm

qB

?

π-θ

2π

(k+1)=

m(π- 2πn k+1 )

qB

(k+1)
    在t 時間內(nèi)，P₂向左運動x再回到C，平均速度為

v

2

              t=2

x

v 2

=

4x

v

≤

4d

v

=

5πR

2v

    由上述兩式可得，

5πR

2v

≥

m(π- 2πn k+1 )

qB

(k+1)
           （k+1）

mv

qB

(1-

2n

k+1

)≤

5

2

R
            tan

nπ

k+1

(k+1-2n)≤

5

2

     當 n=1，K=2、3、4、5、6、7 時符合條件，K=1、8、9…不符合條件
     當 n=2，3，4…．時，無論K等于多少，均不符合條件．
答：在P₂和P₁相鄰兩次碰撞時間間隔內(nèi)，粒子P₁與筒壁的可能碰撞次數(shù)為2、3、4、5、6、7．