Question

20．“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星為繞月極地衛(wèi)星．利用該衛(wèi)星可對(duì)月球進(jìn)行成像探測(cè)．已知衛(wèi)星在繞月極地軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面的高度為H，月球半徑為R_M，月球表面重力加速度為$\frac{g}{6}$，月球繞地球公轉(zhuǎn)的軌道半徑為R₀；地球半徑為R_E，已知光速為C．
（1）月球的第一宇宙速度．
（2）“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星繞月運(yùn)動(dòng)的周期
（3）如圖所示，當(dāng)繞月極地軌道的平面與月球繞地球公轉(zhuǎn)的軌道平面垂直時(shí)（即與地心到月心的連線垂直時(shí)），求繞月極地衛(wèi)星向地球地面發(fā)送照片需要的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 1．衛(wèi)星繞月做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由月球的萬(wàn)有引力提供向心力，知道距月球表面高為H，月球半徑為R_M，繞行的周期為T_M，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可求出月球的第一宇宙速度．
2．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力可以計(jì)算出周期．
3．根據(jù)幾何知識(shí)求出衛(wèi)星到地面最短距離，再求出時(shí)間．

解答 解：（1）對(duì)月球表面上的物體根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力：$\frac{G{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}=m{g}_{月}=m•\frac{g}{6}$
對(duì)繞月球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的物體：$\frac{G{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{月}}$

故第一宇宙速度的大小為：$v=\sqrt{\frac{g{R}_{月}}{6}}$ 
（2）在衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)：$\frac{G{M}_{月}{m}_{衛(wèi)}}{{（R}_{月}^{\;}+H）^{2}}={m}_{衛(wèi)}•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（{R}_{月}+H）$ 
對(duì)月球表面上的物體：$\frac{G{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}=m•\frac{g}{6}$  
聯(lián)立得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{24（{R}_{月}+H）^{3}}{g{R}_{月}^{2}}}$ 
（3）根據(jù)題中示意圖的幾何關(guān)系可得衛(wèi)星到地面的最短距離為：
$L=\sqrt{{R}_{0}^{2}+（H+{R}_{月}）^{2}}-{R}_{月}$，
衛(wèi)星向地面發(fā)送照片需要的最短時(shí)間為：$t=\frac{L}{c}$
聯(lián)立得：$t=\frac{\sqrt{{R}_{0}^{2}+{（H+{R}_{月}）}^{2}}-{R}_{月}}{c}$
答：（1）月球的第一宇宙速度是$\sqrt{\frac{g{R}_{月}}{6}}$．
（2）“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星繞月運(yùn)動(dòng)的周期是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{24{（{R}_{月}+H）}^{3}}{g{R}_{月}^{2}}}$
（3）繞月極地衛(wèi)星向地球地面發(fā)送照片需要的最短時(shí)間是$\frac{\sqrt{{R}_{0}^{2}+{（H+{R}_{月}）}^{2}}-{R}_{月}}{c}$

點(diǎn)評(píng) 本題是計(jì)算天體質(zhì)量問題，關(guān)鍵是要能熟練利用萬(wàn)有引力與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的結(jié)合求解環(huán)繞天體的質(zhì)量，這是常用方法之一．