Question

如圖所示，在xoy平面內(nèi)的第三象限中有沿-y方向的勻強電場，場強大小為E．在第一和第二象限有勻強磁場，方向垂直于坐標平面向里．有一個質(zhì)量為m、電荷量為e的電子，從y軸的P點以初速度v₀垂直于電場方向進入電場（不計電子所受重力）．經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后，電子沿著與x軸負方向成45°角進入磁場，并能返回到原出發(fā)點P．
（1）求P點距坐標原點的距離；
（2）電子從P點出發(fā)經(jīng)多長時間返回P點．

Answer 1

分析：（1）分析電子的運動情況：電子在電場中，受到豎直向上的電場力而做類平拋運動（或勻變速曲線運動）；進入磁場做勻速圓周運動；離開磁場后到P點做勻速直線運動． 畫出軌跡．電子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動．在M點電子的速度與x軸成45°角，則知電子經(jīng)過M點的速度為v=

2

v₀．v_y=v₀．根據(jù)運動學求出P點距坐標原點的距離；
（2）分三段過程研究時間：電場中、磁場中和離開磁場后做勻速直線運動的時間．磁場中根據(jù)軌跡的圓心角α，由t=

α

2π

T求時間．由幾何知識得到勻速直線運動的距離，即可求出勻速運動的時間．再根據(jù)幾何知識求出磁場中運動的半徑，求出T，即可求得總時間．

解答：解：（1）如右圖所示，電子進入電場，從P點到M點做類平拋運動，進入磁場后做勻速圓周運動，離開磁場后從N點到P點做勻速直線運動，畫出軌跡如圖所示．
電子在電場中運動過程，有a=

eE

m

v_y=at₁
由矢量圖得：v_y=v₀
偏轉(zhuǎn)量：y=

1

2

a

t

2 1

解得：y=

1

2

a

t

2 1

=

m v 2 0

2Ee

（2）電子在電場中運動時間為t1=

mv0

eE

電子進入磁場中的速度：v=

2

v0

.

OM

=v0t1=2y=

m v 2 0

Ee

由圓的對稱性可知，電子出磁場時與x軸負方向也是45°角，則：

.

ON

=

.

OP

由幾何關(guān)系的：R=

2

2

.

MN

所以電子在磁場中運動的圓弧的圓心角為270°，設運動的時間為t₂，t2=

3

4

?

2πr

v

=

3πm

2eB

聯(lián)立以上各式解得：t2=

9πmv0

8eE

電子從N點到P點做勻速直線運動，設運動的時間為t₃：
t3=

2 ? . op

v

代入數(shù)據(jù)解得：t3=

mv0

2eE

故總時間為t_總=t₁+t₂+t₃=

3(4+3π)mv0

8eE

答：
（1）P點距坐標原點的距離為y=

m v 2 0

2Ee

．
（2）電子從P點出發(fā)經(jīng)

3(4+3π)mv0

8eE

時間返回P點．

點評：熟悉類平拋運動的處理方式，把平拋運動分解成相互垂直方向的勻速直線運動和初速度為0的勻加速直線運動，通過分運動的處理得到合運動的性質(zhì)．畫出軌跡，運用幾何知識求出磁場中運動的半徑，即可求出時間．