Question

13．如圖所示，在x≥O的區(qū)域內存在與xOy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B，方向垂直于紙面朝里，假設一系列質量為m、電荷量為q的正離子初速度為零，經過加速電場加速后從O點沿Ox軸正方向進入勻強磁場區(qū)域．有一塊厚度不計、高度為d的金屬板豎直放置在磁場中，截面如圖，M、N分別為金屬板截面的上、下端點，M點的坐標為（d，2d），N點的坐標為（d，d）．不計正離子的重力．
（1）加速電場的電壓在什么范圍內，進入磁場的離子才能全部打在金屬板上？
（2）求打在金屬板上的離子在磁場中運動的最短時間與最長時間的比值？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出粒子的速度，再根據(jù)洛倫茲力充當向心力求出恰好打到N點時的半徑，在求出恰好打到M點的半徑，中間的數(shù)據(jù)就是所求的電壓范圍；
（2）分別求出打到M點時的最長時間和打到N點時的最短時間，然后求比值即可．

解答 解：（1）設加速電壓為U，正離子初速度為零，經過加速電場加速，根據(jù)動能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
正離子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
R=$\frac{\sqrt{2mqU}}{qB}$
當加速電壓較小時，離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較小，當離子恰好打到金屬板下端點N點時，圓周運動的半徑最小為R_min，如圖1
根據(jù)幾何知識可以判斷R_min=d
故：U_min=$\frac{q{B}^{2}hnt37bh^{2}}{2m}$
當加速電壓較大時，離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較大，當離子恰好打到金屬板上端點M點時，圓周運動的半徑最大為Rmax，如圖2
根據(jù)幾何知識判斷：R_max²=d²+（2d-R_min）²
解得R_max=$\frac{5}{4}$d
所以U_max=$\frac{25q{B}^{2}tjl1p7v^{2}}{32m}$
所以離子能全部打在金屬板上，加速電壓的取值范圍為：$\frac{q{B}^{2}b13zztf^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}d{\;}^{2}}{32m}$
（2）設離子在磁場中做勻速圓周運動的周期為T，根據(jù)圓周運動規(guī)律得：
T=$\frac{2πR}{v}$  ①
又qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$ ②
聯(lián)立①②解得：T=$\frac{2πm}{qB}$
離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與加速電壓無關．
離子在圖1中所示的軌跡中運動時間最短為
t_min=$\frac{1}{4}$T
離子在圖2所示的軌跡中運動時間最長為：
t_max=$\frac{90+θ}{360°}$
根據(jù)幾何知識：cosθ=$\fracfzxfxfd{{r}_{max}}$
則：θ=37°
所以$\frac{{t}_{min}}{{t}_{max}}$=$\frac{90}{127}$
答：（1）加速電場的電壓在為：$\frac{q{B}^{2}hvlf1fv^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}d{\;}^{2}}{32m}$范圍內，進入磁場的離 子才能全部打在金屬板上，
（2）打在金屬板上的離子在磁場中運動的最短時間與最長時間的比值為$\frac{90}{127}$

點評 本題考查離子在勻強磁場和電場中的運動規(guī)律應用，要注意明確帶電粒子在電場中運動時應用動能定理分析，而在磁場中要注意明確洛倫茲力充當向心力規(guī)律以及幾何關系進行分析求解，對學生的數(shù)學規(guī)律應用能力要求較高．