Question

宇航員在月球表面完成下面的實(shí)驗(yàn)：在一固定的豎直光滑圓軌道內(nèi)部最低點(diǎn)靜止一個質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，如圖所示.當(dāng)給小球一瞬間的速度v時，剛好能使小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，已知圓弧的軌道半徑為r，月球的半徑為R₁，引力常量為G.求：

(1)若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，所需最小發(fā)射速度為多大？
(2)軌道半徑為2R₁的環(huán)月衛(wèi)星周期為多大？

Answer 1

（1）（2）4π/v.

試題分析：（1）設(shè)月球表面的重力加速度為g₁，小球在最高點(diǎn)的速度為v₁，小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，有：
  （2 分）
小球剛好做完整的圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)有：
 （2 分）
由以上兩式可得：  （1 分）
若在月球表面發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，則重力必須提供向心力，則有： （1 分）
故最小發(fā)射速度：
v₂== =v.      1 分
(2)若衛(wèi)星在半徑為2R₁的軌道上，
GMm/(2R₁)²=m·2R4π²/T²      2 分
其中g(shù)₁=GM/R²=v²/5r
由以上幾式可得：T=4π/v.       2 分