Question

4．如圖所示，在同一個豎直平面內，傾角θ=37°的光滑斜面的頂端連接一內壁光滑的半徑為R（圓管的內徑遠小于R）的半圓管PQ，圓管與斜面最高點P相切．一輕質彈簧的下端與固定擋板連接，用力使小球A把彈簧從原長位置（O點）壓縮至N位置并由靜止釋放，小球A恰好能到達斜面頂端P位置．已知NP=3R，小球A的質量為m，直徑略小于圓管內徑，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）彈簧被壓縮至N位置時的彈性勢能；
（2）用力使另一小球B（直徑略小于圓管內徑）仍把彈簧從原長位置（O點）壓縮至N位置并由靜止釋放，要使小球B能沿軌道從Q端射出，小球B質量滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）小球A從N到P的運動過程中機械能守恒，由機械能守恒定律可以求出彈簧的彈性勢能．
（2）要使小球B能沿軌道從Q端射出，那么到達圓管最高點M點的速度大于等于零．對于小球B從N點到M點的過程，根據機械能守恒定律求解即可．

解答 解：（1）小球A從N到P的過程中機械能守恒，以A點為重力勢能0點，由機械能守恒定律：
E_p彈=mg•3Rsinθ
解得彈簧被壓縮至N位置時的彈性勢能為：E_p彈=1.8mgR               
（2）設小球B的質量為m′，要使小球B能沿軌道從Q端射出，那么到達圓管最高點M點的速度：v_M≥0
小球B從N點到M點，根據機械能守恒定律得：
E_p彈=（m′g•3Rsinθ+m′gRcosθ+m′gR）+$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$
解得：m′≤$\frac{1}{2}$m
答：（1）彈簧被壓縮至N位置時的彈性勢能是1.8mgR．
（2）要使小球B能沿軌道從Q端射出，小球B質量滿足的條件是m′≤$\frac{1}{2}$m．

點評 本題綜合運用了能量守恒定律和圓周運動的臨界條件，要靈活選取研究的過程，選用適當?shù)囊?guī)律進行求解，要明確只要小球能通過最高點M，就能從Q端射出．