Question

（1）試由萬有引力定律推導(dǎo)：繞地球做圓周運動的人造衛(wèi)星的周期T跟它軌道半徑r的3/2次方成正比．
（2）A、B兩顆人造衛(wèi)星的繞地球做圓周運動，它們的圓軌道在同一平面內(nèi)，周期之比是．若兩顆衛(wèi)星的最近距離等于地球半徑R，求這兩顆衛(wèi)星的周期各是多少？從兩顆衛(wèi)星相距最近開始計時到兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)至少經(jīng)過多少時間？已知在地面附近繞地球做圓周運動的衛(wèi)星周期為T．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)地球?qū)θ嗽煨l(wèi)星的萬有引力提供向心力列式求解；
（2）根據(jù)第一問的結(jié)論求解出軌道半徑之比，得到半徑后進(jìn)一步求解出A、B衛(wèi)星的周期，最后根據(jù)相對運動求解從兩顆衛(wèi)星相距最近開始計時到兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時間．
解答：解：（1）人造衛(wèi)星繞地球做圓周運動，萬有引力充當(dāng)向心力：

解得：T=
地球質(zhì)量M是常量，因此人造衛(wèi)星繞地球運動的周期T與其軌道半徑r的次方成正比．
（2）設(shè)B衛(wèi)星軌道半徑為r₂，則A衛(wèi)星軌道半徑為r₁=r₂+R
     ①
解得r₂=2R，r₁=3R
可得：


T₁=3
T₂=2
設(shè)A、B兩衛(wèi)星從相距最近開始經(jīng)過時間t第一次達(dá)相距最遠(yuǎn)，有
（）t=π   ②
解得時間t=≈3.1T
答：（1）證明如上；
（2）這兩顆衛(wèi)星的周期分別是3、2；從兩顆衛(wèi)星相距最近開始計時到兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)至少經(jīng)過3.1T．
點評：本題關(guān)鍵根據(jù)衛(wèi)星的萬有引力充當(dāng)向心力列式求解出周期以半徑的關(guān)系，然后運用該關(guān)系式分析第二問，不難．