Question

7．如圖所示．長(zhǎng)為3L的長(zhǎng)木板AD放在光滑的水平面上，B、C兩點(diǎn)將長(zhǎng)木板三等分，AB、CD段光滑，一物塊從A點(diǎn)以一定的初速度滑上長(zhǎng)木板，物塊與長(zhǎng)木板段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物塊質(zhì)量為m，長(zhǎng)木板的質(zhì)量為2m，重力加速度為g，求：
（1）物塊在BC段滑動(dòng)時(shí)，木板的加速度大小；
（2）要使物塊不滑離長(zhǎng)木板，物塊的初速度應(yīng)滿足的條件；
（3）若初速度為2$\sqrt{μgL}$，則物塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出木板的加速度；
（2）木塊剛好不滑離木板的臨界條件是速度相等，相對(duì)位移等于木板的長(zhǎng)度，即可求出初速度滿足的條件
（3）物塊在AB段做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移公式求出AB段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊和木板在BC段的加速度，結(jié)合位移之差等于L求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，以及在C點(diǎn)物塊和木板的速度，結(jié)合位移之差等于L求出CD段的時(shí)間，從而得出總時(shí)間．

解答 解：（1）物塊滑到BC段時(shí)，物塊加速度
${a}_{1}^{\;}=μg$
長(zhǎng)木板的加速度${a}_{2}^{\;}=\frac{μmg}{2m}=\frac{1}{2}μg$
（2）設(shè)物塊剛好不滑離長(zhǎng)木板的初速度為${v}_{0}^{\;}$，則物塊滑到C點(diǎn)時(shí)，與木塊具有共同速度，設(shè)所用時(shí)間為t
${v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}t={a}_{2}^{\;}t$
${v}_{0}^{\;}t-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}=L$
即初速度小于等于$\sqrt{3μgL}$，物塊就不會(huì)滑離長(zhǎng)木板
（3）若初速度為$2\sqrt{μgL}$，則物塊在AB段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{1}^{\;}=\frac{L}{2\sqrt{μgL}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{μg}}$
物塊在BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)${v}_{0}^{′}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}=L$
解得：${t}_{2}^{\;}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{μg}}$（${t}_{2}^{\;}=2\sqrt{\frac{L}{μg}}$不合題意舍去）
在C點(diǎn)，物塊的速度${v}_{1}^{\;}={v}_{0}^{′}-{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{4}{3}\sqrt{μgL}$
長(zhǎng)木板的速度${v}_{2}^{\;}={a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{1}{3}\sqrt{μgL}$
滑塊通過CD段所用時(shí)間滿足${v}_{1}^{\;}{t}_{3}^{\;}-{v}_{2}^{\;}{t}_{3}^{\;}=L$
解得：${t}_{3}^{\;}=\sqrt{\frac{L}{μg}}$
物塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{13}{6}\sqrt{\frac{L}{μg}}$
答：（1）物塊在BC段滑動(dòng)時(shí)，木板的加速度大小為$\frac{1}{2}μg$；
（2）要使物塊不滑離長(zhǎng)木板，物塊的初速度應(yīng)滿足的條件小于等于$\sqrt{3μgL}$；
（3）若初速度為2$\sqrt{μgL}$，則物塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$\frac{13}{6}\sqrt{\frac{L}{μg}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物塊和木板在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，對(duì)于第一問也可以采用能量守恒定律進(jìn)行求解．