Question

如圖甲所示，兩平行金屬板接有如圖乙所示隨時(shí)間t變化的電壓U，兩板間電場可看作均勻的，且兩板外無電場，板長L=0.2m，板間距離d=0.2m．在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場中，已知每個(gè)粒子速度v₀=10⁵ m/s，比荷q/m=10⁸ C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過電場區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場可視作是恒定不變的．
（1）試求帶電粒子射出電場時(shí)的最大速度；
（2）證明：在任意時(shí)刻從電場射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和在MN上出射點(diǎn)的距離為定值，寫出該距離的表達(dá)式；
（3）從電場射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又射出磁場，求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)粒子從極板的右邊緣射出時(shí)，粒子的速度最大，根據(jù)粒子在勻強(qiáng)電場中的偏轉(zhuǎn)，通過偏轉(zhuǎn)位移求出偏轉(zhuǎn)的電壓，再通過動(dòng)能定理求出粒子射出電場時(shí)的最大速度．
（2）設(shè)粒子射出電場速度方向與MN間夾角為θ，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)求出射出電場時(shí)的速度與初速度的關(guān)系，再根據(jù)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出半徑的表達(dá)式，從而求出入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的距離表達(dá)式，看是否與夾角θ有關(guān)．
（3）當(dāng)帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓心角最大，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，圓心角最小，時(shí)間最短．類平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向上的分速度越大，粒子射出電場速度方向與MN間夾角越小，圓心角越大，根據(jù)幾何關(guān)系求出最大圓心角和最小圓心角，即可求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和最短時(shí)間．

解答：解：（1）偏轉(zhuǎn)電壓由0到200V的變化中，粒子流可能都能射出電場，也可能只有部分粒子能射出電場．
設(shè)偏轉(zhuǎn)的電壓為U₀時(shí)，粒子剛好能經(jīng)過極板的右邊緣射出．

d

2

=

1

2

at2
粒子的加速度：a=

F

m

=

qU1

md

粒子在偏轉(zhuǎn)電場中的時(shí)間：t=

L

v

聯(lián)立以上三式解得：
得U₁=100V．
知偏轉(zhuǎn)電壓為100V時(shí)，粒子恰好能射出電場，且速度最大．
根據(jù)動(dòng)能定理得，

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 0

+q?

U1

2

代入數(shù)據(jù)解得：v1=

2×105

m/s=1.41×105m/s．
方向：斜向右上方或斜向右下方，與初速度方向成45°夾角．
（2）設(shè)粒子射出電場速度方向與MN間夾角為θ．粒子射出電場時(shí)速度大小為：v=

v0

sinθ

又有洛倫茲力提供向心力：qvB=m

v2

R

解得R=

mv

qB

=

mv0

qBsinθ

．
因此粒子射進(jìn)磁場點(diǎn)與射出磁場點(diǎn)間距離為：
s=2Rsinθ=

2mv0

qB

=0.4m．
由此可看出，距離s與粒子在磁場中運(yùn)行速度的大小無關(guān)，s為定值．
（3）由（1）中結(jié)論可知，若粒子射出磁場的豎直分速度越大，則θ越小，故θ最小值為θ_m=45°，
此情景下圓弧對應(yīng)的圓心角為270°，入射粒子在磁場中運(yùn)行最長時(shí)間為：
tmax=

3T

4

=

3πm

2qB

=3π×10-6s
當(dāng)粒子從上板邊緣飛出電場在進(jìn)入磁場時(shí)，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短：
tmin=

T

4

=

πm

2qB

=π×10-6s．
答：（1）帶電粒子射出電場時(shí)的最大速度為1.41×10⁵m/s．
（2）證明略，距離為0.4m；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為3π×10^-6s和最短時(shí)間為π×10^-6s．

點(diǎn)評：本題考查了帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)和在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，掌握粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑公式和周期公式，以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓心角的關(guān)系．