Question

如圖所示，傾角θ₁=37°的光滑斜面AB與傾角θ₂=30°的光滑斜面DC通過一段長度為2.2m的光滑水平面BC連接（連接處有一段很短的光滑圓弧相接）．現(xiàn)將一個質(zhì)量為m₁=0.5kg的小球P從AB斜面上距地高度為h₁=1.8m處自由釋放，同時將另一個質(zhì)量為m₂的小球Q從DC斜面上某點處自由釋放，若要使兩小球同時進入水平面，且不斷地在水平面上同一點發(fā)生相向碰撞（碰撞時無機械能損失）．試求：

（1）小球自由釋放時，距地面高度h₂是多少？
（2）P、Q兩球在BC面上碰撞的位置在何處？
（3）小球Q的質(zhì)量m ₂ 是多少？

Answer 1

分析：（1）由題，兩小球同時進入水平面，兩球在斜面上運動的時間相等，根據(jù)牛頓第二定律分別求出兩球的加速度，再根據(jù)位移公式列式求解．
（2）由速度公式求出兩球在水平面滑動的速度大小，由位移公式結(jié)合兩者在水平面上位移之和等于BC，即可求解．
（3）兩球碰撞過程，無機械能損失，動量和機械能均守恒，根據(jù)兩大守恒定律列式得到碰后兩球的速度，為了使碰撞不斷進入下去，碰撞后兩球速度大小不變，方向反向，即可求解．

解答：解：（1）在斜面上小球P、Q的加速度分別為a₁和a₂，兩球滾下的時間均為t，根據(jù)牛頓第二定律得：
    a₁=

mgsinθ1

m

=gsinθ₁=6m/s²，
    a₂=

mgsinθ2

m

=gsinθ₂=5m/s²，
由運動學(xué)公式得

h1

sinθ1

=

1

2

a1t2  可得t=

2h1 a1sinθ1

=

2×1.8 6×sin37°

=1s，
再由

h2

sinθ2

=

1

2

a2t2 
可得h₂=

1

2

a2sinθ2t2=

1

2

×5×sin30°×12m=1.25m
（2）到達斜面底端時，小球P、Q的速度分別為v₁=a₁t=6m/s，v₂=a₂t=5m/s，設(shè)碰撞點距B點x處，則應(yīng)有
 x=v₁t，
2.2-x=v₂t，
聯(lián)立可得x=1.2m．
（3）設(shè)兩球P、Q碰后的速度為v₁₀和v₂₀，選取碰前P的速度v₁的方向為正方向，則有
  m₁v₁+m₂（-v₂）=m₁v₁₀+m₂v₂₀，
且有

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

=

1

2

m₁v

2 10

+

1

2

m2

v

2 20

，
為使碰撞不斷地進行下去，碰后應(yīng)有v₁₀=-v₁，v₂₀=-v₂，
故可解得：m₂=0.6kg．
答：
（1）小球自由釋放時，距地面高度h₂是1.25m．
（2）P、Q兩球在BC面上碰撞的位置在距B點1.2m處．
（3）小球Q的質(zhì)量m₂是0.6kg．

點評：解決本題要緊扣題設(shè)條件：斜面上時間相等，運用力學(xué)基本的方法：牛頓第二定律和運動學(xué)公式進行求解h₂．關(guān)鍵是抓住彈性碰撞的規(guī)律：動量守恒和機械能守恒，進而求解小球Q的質(zhì)量．