Question

8．如圖所示，截面為等腰梯形的物體固定在豎直面內，梯形的底角為θ=60°，底邊的長度為d，底面沿豎直方向，底邊的兩端分別固定著兩個相同的小滑輪，在斜面上停放質量為5m的物塊，物塊通過一根跨過滑輪的輕繩與質量為m的小球相連接．現將小球從C點由靜止開始釋放，圖中A、B為小球通過的兩個位置，其中小球在A點的速度為零，B為運動過程的最低點．在此過程中，物塊始終保持靜止狀態(tài)．已知小球在C點時繩與豎直方向間的夾角為α=60°，C點到頂端滑輪的距離L=3d，重力加速度大小為g，不計滑輪的質量與大小，忽略繩與滑輪間的摩擦及空氣阻力，求：
（1）當小球剛到達B點時，物塊所受摩擦力；
（2）A、C兩點間的距離．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒求得在B處的速度，然后對小球應用牛頓第二定律求得繩子拉力，再對物塊進行受力分析，由受力平衡得到摩擦力；
（2）根據機械能守恒得到A、C等高，然后根據幾何關系求得AC的距離．

解答 解：（1）小球從C到B的運動過程中只有重力做功，故機械能守恒，所以有：$mgL（1-cosα）=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
那么，小球在B點時繩子的拉力為：$T=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{L}=mg+2mg（1-cosα）=2mg$；
故對物塊進行受力分析，由受力平衡可得：當小球剛到達B點時，物塊所受摩擦力為：$f=5mgcosθ-T=\frac{1}{2}mg$，方向沿斜面向上；
（2）小球從C到A的過程只有重力做功，故機械能守恒，所以AC高度一致，設繩在A處時的偏角為β，那么有：Lcosα=d+（L-d）cosβ，所以，$cosβ=\frac{Lcosα-d}{L-d}=\frac{1}{4}$；
那么，$sinβ=\frac{\sqrt{15}}{4}$，A、C兩點間的距離為：${L}_{AC}=Lsinα+（L-d）sinβ=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}d$；
答：（1）當小球剛到達B點時，物塊所受摩擦力為$\frac{1}{2}mg$，方向沿斜面向上；
（2）A、C兩點間的距離為$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}d$．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．