Question

2．豎直平面（紙面）內(nèi)有一半徑為R的圓形區(qū)域，O為圓心，如圖所示．在該圓形區(qū)域內(nèi)加一豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子沿圖中水平直徑AO從圓上的A點(diǎn)以速度v射入圓形區(qū)域，在圓上的D點(diǎn)離開該區(qū)域，已知圖中θ=120°．現(xiàn)將電場(chǎng)換為充滿該區(qū)域垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，同一粒子以同樣速度沿直徑從A點(diǎn)射入圓形區(qū)域，也在D點(diǎn)離開該區(qū)域．不計(jì)粒子重力．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向以及磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）求粒子經(jīng)電場(chǎng)從A到D的時(shí)間以及經(jīng)磁場(chǎng)從A到D的時(shí)間；
（3）若沿紙面內(nèi)從A點(diǎn)同時(shí)向磁場(chǎng)區(qū)域各個(gè)方向以大小相同的速度v均勻射入該粒子，則沿AO方向射入的粒子從D點(diǎn)射出時(shí)，還在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子占所有粒子的比例是多少？并簡述理由．

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋規(guī)律結(jié)合牛頓第二定律即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度大��；加磁場(chǎng)時(shí)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡圖象，由幾何關(guān)系可以得到軌道半徑，進(jìn)而由洛倫茲力提供向心力可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，利用左手定則即可判斷出磁場(chǎng)的方向．
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)軌跡的圓心角求解時(shí)間，由類平拋的規(guī)律得到電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可解答．
（3）找出沿AO方向射入的粒子從D點(diǎn)射出時(shí)，恰好從磁場(chǎng)中射出粒子的初速度方向，進(jìn)而找到還在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的初速度角度范圍，利用初速度角度之比即可求出還在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子占所有粒子的比例．

解答 解：（1）加電場(chǎng)時(shí)，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)牛頓第二定律可得：Eq=ma ①
類平拋規(guī)律有：R+Rcos60°=vt ②
Rsin60°=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ③
聯(lián)立①②③式可得：E=$\frac{4\sqrt{3}{mv}^{2}}{9qR}$，電場(chǎng)方向：豎直向下
加磁場(chǎng)時(shí)，粒子從A到D有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ④
由幾何關(guān)系有：r=Rtan$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{3}$R⑤
聯(lián)立④⑤式得：B=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qR}$，
根據(jù)左手定則可知，磁場(chǎng)方向：垂直紙面向里
（2）由②式可得粒子經(jīng)電場(chǎng)從A到D的時(shí)間：t=$\frac{3R}{2v}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知：圓心角α=60°  
圓運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πr}{v}$  ⑥
聯(lián)立⑤⑥式可得，粒子經(jīng)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t′=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T=$\frac{\sqrt{3}πR}{3v}$
（3）如圖所示，沿AO方向射入的粒子從D點(diǎn)射出時(shí)，從A點(diǎn)發(fā)射的與水平方向成θ₂=60°粒子恰好從圓形區(qū)域的C點(diǎn)射出，
則此時(shí)：入射初速度方向在角θ₁=30°的范圍內(nèi)的粒子已飛離磁場(chǎng)；
入射初速度方向在角θ₂=60°的范圍內(nèi)的粒子仍在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，
入射初速度方向在角θ₃=90°的范圍內(nèi)的粒子已飛離磁場(chǎng)，

所以沿AO方向射入的粒子從D點(diǎn)射出時(shí)，還在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子占所有粒子的比例：$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}+{θ}_{2}+{θ}_{3}}$=$\frac{60°}{180°}$=$\frac{1}{3}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\frac{4\sqrt{3}{mv}^{2}}{9qR}$，電場(chǎng)方向豎直向下；磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{\sqrt{3}mv}{3qR}$，方向垂直紙面向里；
（2）粒子經(jīng)電場(chǎng)從A到D的時(shí)間以及經(jīng)磁場(chǎng)從A到D的時(shí)間為$\frac{\sqrt{3}πR}{3v}$；
（3）若沿紙面內(nèi)從A點(diǎn)同時(shí)向磁場(chǎng)區(qū)域各個(gè)方向以大小相同的速度v均勻射入該粒子，則沿AO方向射入的粒子從D點(diǎn)射出時(shí)，還在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子占所有粒子的比例是$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)以及在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵問題是做出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合運(yùn)動(dòng)形式選擇合適的規(guī)律解決問題，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一定要掌握好幾何方法；第（3）問考查定圓繞定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)模型，利用初速度方向角度范圍之比去求粒子占所有粒子的比例，對(duì)學(xué)生幾何能力要求較高．