Question

國(guó)防科技工業(yè)局預(yù)定“嫦娥三號(hào)”于2013年下半年發(fā)射．“嫦娥三號(hào)”將攜帶一部“中華牌”月球車(chē)，實(shí)現(xiàn)月球表面探測(cè)．設(shè)想“嫦娥三號(hào)”成功實(shí)施第三次近月制動(dòng)，進(jìn)入距離月球表面高度為H的圓形軌道，其周期為T(mén)，已知月球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．
（1）求月球的質(zhì)量M；
（2）設(shè)想將來(lái)飛船在月球表面著陸后，如果宇航員將一小球舉到距月球表面為h處自由釋放，求小球的落地時(shí)間t．

Answer 1

分析：1、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力G

Mm

(R +H)2

=m(

2π

T

)2(R+H)，化簡(jiǎn)可得月球的質(zhì)量M．
2、宇航員將一小球舉到距月球表面為h處自由釋放，做自由落體運(yùn)動(dòng)h=

1

2

gt2，由此要計(jì)算時(shí)間話，需要知道月球表面的重力加速度．
而在月球表面物體受到的重力等于萬(wàn)有引力

GMm

R2

=mg，由此可以計(jì)算出月球表面的重力加速度．

解答：解：（1）設(shè)“嫦娥三號(hào)”的質(zhì)量為m，則根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力
G

Mm

(R +H)2

=m(

2π

T

)2(R+H)
解得M=

4π2(R+H)3

GT2

（2）設(shè)月球上的重力加速度為g，
在月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力：

GMm

R2

=mg，
得g=

GM

R2

宇航員將一小球舉到距月球表面為h處自由釋放，做自由落體運(yùn)動(dòng)，則
h=

1

2

gt2，
所以t=

2h g

代入值解得t=

2hR2 GM

=

hR2T2 2π2(R+H)3

答：（1）求月球的質(zhì)量M為

4π2(R+H)3

GT2

；
（2）設(shè)想將來(lái)飛船在月球表面著陸后，如果宇航員將一小球舉到距月球表面為h處自由釋放，則小球的落地時(shí)間t為

hR2T2 2π2(R+H)3

．

點(diǎn)評(píng)：本題要掌握兩個(gè)重要的關(guān)系：星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力；環(huán)繞天體繞中心天體運(yùn)動(dòng)需要的向心力由萬(wàn)有引力提供．