Question

如圖所示，質(zhì)量為M=0.4kg的鐵板固定在一根輕彈簧上方，鐵板的上表面保持水平．彈簧的下端固定在水平面上，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)．在鐵板中心的正上方有一個質(zhì)量為m=0.1kg的木塊，從離鐵板上表面高h=0.8m處自由下落．木塊撞到鐵板上以后不再分離，兩者一起開始做簡諧運動．木塊撞到鐵板上共同下降x₁=2.0cm后，它們的共同速度第一次達到最大值．又繼續(xù)下降x₂=8.0cm后，它們的共同速度第一次減小為零．空氣阻力忽略不計，g=10m/s²．求：
（1）若彈簧的彈力跟彈簧的形變量成正比，比例系數(shù)叫做彈簧的勁度系數(shù)，用k表示．求本題中彈簧的勁度系數(shù)k．
（2）木塊和鐵板碰撞后瞬間具有的共同速度為多少？
（3）從木塊和鐵板共同開始向下運動到它們的共同速度第一次減小到零過程中，彈簧的彈性勢能增加了多少？
（4）在此后的振動過程中，鐵板對木塊的彈力的最小值N是多少（提示：簡諧運動具有對稱性，其振幅最大位置具有的加速度大小相等、方向相反）？

Answer 1

分析：（1）M靜止時，根據(jù)平衡條件列式；速度最大時，M、m組成的系統(tǒng)加速度為零，鐵塊與木塊的合力為零，根據(jù)平衡條件列式；然后聯(lián)立求解k．
（2）m先自由落體，根據(jù)動能定理或機械能守恒求出碰撞前的速度；碰撞過程動量守恒，根據(jù)守恒定律求解出碰后速度；
（3）根據(jù)碰后系統(tǒng)的機械能守恒定律求解彈性勢能的增加量．
（4）當系統(tǒng)運動皮最高點時，鐵板對木塊的彈力最�。�先根據(jù)牛頓第二定律求出系統(tǒng)運動到最低點時的加速度，根據(jù)對稱性可知，系統(tǒng)運動到最高點時的加速度與最低點的加速度大小相等，方向相反，得到最高點的加速度，即可根據(jù)牛頓第二定律求解鐵板對木塊的彈力的最小值N．

解答：解：（1）設系統(tǒng)靜止時系統(tǒng)彈簧的壓縮量為x₀，則：kx₀=Mg，
共同速度最大時鐵板與木塊的合外力為零有：k（x₀+x₁）=（M+m）g 
由以上兩式解得：k=

mg

x1

=

0.1×10

0.02

 N/m=50N/m．
（2）由機械能守恒得：mgh=

1

2

m

v

2 0

木塊與鐵板碰撞前瞬間的速度為：
v₀=

2gh

=

2×10×0.8

m/s=4 m/s   
設兩者在碰后的共同速度為v，由動量守恒定律得：mv₀=（M+m）v    
解得：v=

mv0

M+m

=

0.1×4

0.4+0.1

 m/s=0.8m/s   
（3）彈簧增加的彈性勢能等于系統(tǒng)減少的動能和重力勢能之和，有：
△E_p=

1

2

（M+m）v²+（M+m）g（x₁+x₂）=

1

2

（0.4+0.1）0.8²J+（0.4+0.1）×10×（0.02+0.08）J=0.66 J     
（4）系統(tǒng)在最低點的加速度為：a=

F合

M+m

=

k(x0+x1+x2)-(M+m)g

M+m

=8m/s    
根據(jù)簡諧運動的對稱性，系統(tǒng)運動到最高點的加速度大小也為a，且此時鐵板對木塊的彈力N為最小，取木塊為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律得：mg-N=ma    
解得：N=m（g-a）=0.1（10-8）N=0.2N   
答：（1）本題中彈簧的勁度系數(shù)k為50N/m．
（2）木塊和鐵板碰撞后瞬間具有的共同速度為0.8m/s．  
（3）從木塊和鐵板共同開始向下運動到它們的共同速度第一次減小到零過程中，彈簧的彈性勢能增加了0.66J．
（4）在此后的振動過程中，鐵板對木塊的彈力的最小值N是0.2N．

點評：本題關鍵明確m與M運動規(guī)律，同時結合動能定理、機械能守恒、動量守恒定律、平衡條件列方程后聯(lián)立求解．