Question

【題目】電視機(jī)的顯像管中電子束的偏轉(zhuǎn)是應(yīng)用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的。如左圖所示為顯像管的原理示意圖。顯像管中有一個電子槍，工作時陰極發(fā)射的電子（速度很小，可視為零）經(jīng)過加速電場加速后，穿過以O點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓形磁場區(qū)域（磁場方向垂直于紙面），撞擊到熒光屏上使熒光屏發(fā)光。

已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，加速電場的電壓為U，在沒有磁場時電子束通過O點(diǎn)打在熒光屏正中央的M點(diǎn)，OM間距離為S。電子所受的重力、電子間的相互作用力均可忽略不計，也不考慮磁場變化所激發(fā)的電場對電子束的作用。由于電子經(jīng)過加速電場后速度很大，同一電子在穿過磁場的過程中可認(rèn)為磁場不變。

(1)求電子束經(jīng)偏轉(zhuǎn)磁場后打到熒光屏上時的速率；

(2)若磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間變化關(guān)系如下圖所示，其中 ，求電子束打在熒光屏上發(fā)光所形成的“亮線”長度。

(3)若其它條件不變，只撤去磁場，利用電場使電子束發(fā)生偏轉(zhuǎn)。把正弦交變電壓加在一對水平放置的矩形平行板電極上，板間區(qū)域有邊界理想的勻強(qiáng)電場。電場中心仍位于O點(diǎn)，電場方向垂直于OM。為了使電子束打在熒光屏上發(fā)光所形成的“亮線”長度與（2）中相同，問：極板間正弦交變電壓的最大值Um、極板長度L、極板間距離d之間需要滿足什么關(guān)系？（由于電子的速度很大，交變電壓周期較大，同一電子穿過電場的過程可認(rèn)為電場沒有變化，是穩(wěn)定的勻強(qiáng)電場）

Answer 1

【答案】(1) (2) (3),

【解析】

因?yàn)榱Ｗ釉诖艌鲋羞\(yùn)動洛倫茲力不做功，所以根據(jù)動能定理求出電子射出加速電場時的速度大小，即為電子束經(jīng)偏轉(zhuǎn)磁場后打到熒光屏上時的速率；粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，出磁場后做勻速直線運(yùn)動，通過最大的偏轉(zhuǎn)角，結(jié)合幾何關(guān)系求出熒光屏上亮線的長度；類平拋運(yùn)動利用運(yùn)動的合成和分解，結(jié)合電場中牛頓第二定律，根據(jù)速度偏向角的幾何關(guān)系，聯(lián)立即可求出極板間正弦交變電壓的最大值Um，極板長度L、極板間距離d之間需要滿足的關(guān)系式；

解：(1)設(shè)經(jīng)過電子槍中加速電場加速后，電子的速度大小為v

根據(jù)動能定理可得：

電子束經(jīng)過磁場區(qū)域速度大小不變，電子束打在熒光屏上速率為：

(2)設(shè)電子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為R，運(yùn)動軌跡如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系有：

洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：

當(dāng)時，電子束經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)角為θ，此時電子在熒光屏上的落點(diǎn)距M點(diǎn)最遠(yuǎn)，解得：

電子在熒光屏上落點(diǎn)距M點(diǎn)最遠(yuǎn)距離：

熒光屏上亮線長度：

(3)若使電子束打在熒光屏上所形成亮線的長度與磁場中偏轉(zhuǎn)時相同，則電子束的最大偏轉(zhuǎn)角保持不變，即：

當(dāng)電子達(dá)到最大偏轉(zhuǎn)角時，恰好從極板邊緣射出。

這種情況下，，即：

設(shè)此時兩極板間電壓為U1

由牛頓第二定律有：

由勻加速直線運(yùn)動規(guī)律有：

且：

聯(lián)立解得：

當(dāng)極板間電壓再大時，電子不能從極板邊界射出，故不會形成亮線，因此：

當(dāng)電子達(dá)到最大偏轉(zhuǎn)角時，不是從極板邊界射出，即：，此時兩極板間電壓達(dá)到Um(電壓再增大，電子偏轉(zhuǎn)角增加，亮線長度增加)

由牛頓第二定律有：

由勻加速直線運(yùn)動規(guī)律有：，

聯(lián)立解得：