Question

13．如圖所示，某種透明材料制成的直角三棱鏡ABC，折射率n=$\sqrt{3}$，∠A=$\frac{π}{6}$，在與BC邊相距為d的位置，放置一平行于BC邊的豎直光屏，現(xiàn)有一細(xì)光束射到棱鏡AB面上的P點(diǎn)，入射光線與AB面垂直線CP的夾角為i，PB的長(zhǎng)度為d，試求：
①當(dāng)i=$\frac{π}{3}$且光束從BC面出射時(shí)，光屏上的亮斑與P點(diǎn)間的豎直距離；
②當(dāng)光束不從BC面出射時(shí)，i的正弦值應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 ①根據(jù)折射定律求出光線在P點(diǎn)的折射角，由幾何關(guān)系和折射定律結(jié)合求出光線在BC面上出射時(shí)的折射角，最后由幾何關(guān)系求光屏上的亮斑與P點(diǎn)間的豎直距離．
②當(dāng)光束恰好不從BC面出射時(shí)恰好發(fā)生全反射時(shí)，入射角等于臨界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C，結(jié)合幾何知識(shí)求解．

解答 解：①光線在P點(diǎn)發(fā)生折射，則有  n=$\frac{sini}{sinr}$
得 sinr=$\frac{sini}{n}$=$\frac{sin60°}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$
可得折射角 r=30°．
設(shè)光線在BC面上入射角和折射角分別為i′和r′．
由幾何知識(shí)得 i′=90°-r-30°=30°
則 i′=r
結(jié)合光路可逆原理得  r′=i=60°
所以光屏上的亮斑與P點(diǎn)間的豎直距離 S=dsin30°+dtan60°=$\frac{1+2\sqrt{3}}{2}$d
②當(dāng)光束恰好不從BC面出射時(shí)恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得：
  C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以當(dāng)光束不從BC面出射時(shí)，i′≥C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
由幾何知識(shí)得：r=60°-i′≤60°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
由n=$\frac{sini}{sinr}$得：sini=nsinr≤$\sqrt{3}$sin（60°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
所以 i≤arcsin[$\sqrt{3}$sin（60°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$）]
答：①當(dāng)i=$\frac{π}{3}$且光束從BC面出射時(shí)，光屏上的亮斑與P點(diǎn)間的豎直距離是$\frac{1+2\sqrt{3}}{2}$d；
②當(dāng)光束不從BC面出射時(shí)，i的正弦值應(yīng)滿足的條件是i≤arcsin[$\sqrt{3}$sin（60°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$）]．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是正確作出光路圖，要知道當(dāng)光從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)時(shí)要考慮能否發(fā)生全反射，根據(jù)幾何知識(shí)和折射定律求解入射角和折射角．