Question

3．傾斜角度等于$\frac{π}{3}$的輕桿在末端和兩個(gè)半徑R=0.4m的四分之一圓弧軌道拼接，如圖示，兩個(gè)圓弧的圓心等高，C點(diǎn)切線水平，距離C點(diǎn)水平距離0.8m的MN為水平凹槽，其寬度為0.4m．小球套在輕桿上從某一點(diǎn)靜止釋放后穿過(guò)軌道從C點(diǎn)拋出，落在凹槽中．已知斜面和小球之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，圓弧軌道光滑．整個(gè)裝置在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，斜面低端和凹槽M在同一水平線上．重力加速度g=10m/s²．

（1）小球離開(kāi)C點(diǎn)時(shí)的速度多大才能落N點(diǎn)？
（2）落在M點(diǎn)的小球在C處時(shí)，軌道對(duì)小球的作用力多大？
（3）小球在斜面上離B點(diǎn)多少距離處釋放才能落在水平凹槽中？

Answer 1

分析 （1）小球離開(kāi)C點(diǎn)時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)，已知平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和豎直位移，由分位移公式可求得C點(diǎn)的速度；
（2）先由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到小球要落在M點(diǎn)，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求解；
（3）根據(jù)落在凹槽中時(shí)C點(diǎn)的速度范圍，由動(dòng)能定理求解球在斜面上離B點(diǎn)多少距離處釋放．

解答 解：（1）小球離開(kāi)C點(diǎn)時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：$t=\sqrt{\frac{4R}{g}}=\sqrt{\frac{4×0.4}{10}}s=0.4s$，
d+△d=v_C1t
聯(lián)立解得：v_C1=$\frac{0.8+0.4}{0.4}m/s$=3m/s；
（2）小球落在M點(diǎn)時(shí)在C點(diǎn)的速度為：${v}_{C2}=\fracs9np55c{t}=\frac{0.8}{0.4}m/s=2m/s$，
設(shè)軌道對(duì)小球的作用力大小為F，則在C點(diǎn)有：mg+F=m$\frac{{v}_{C2}^{2}}{R}$，
解得：F=0；
（3）小球要落在凹槽中，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度大小范圍為：2m/s≤v_C≤3m/s
從小球釋放滑到C點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：mg（xsinθ-2R）-μmgxcosθ=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
聯(lián)立以上式子，得：$\sqrt{3}m＜x＜\frac{5\sqrt{3}}{4}m$，
所以小球在桿上離B點(diǎn)$\sqrt{3}m～\frac{5\sqrt{3}}{4}m$才能落到凹槽中．
答：（1）小球離開(kāi)C點(diǎn)時(shí)的速度為3m/s時(shí)才能落N點(diǎn)；
（2）落在M點(diǎn)的小球在C處時(shí)，軌道對(duì)小球的作用力為0；
（3）小球在斜面上離B點(diǎn)$\sqrt{3}m～\frac{5\sqrt{3}}{4}m$才能落到凹槽中．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，要熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究，要知道平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由下落的高度決定的，高度一定時(shí)下落時(shí)間是相等的；
利用動(dòng)能定理解題時(shí)注意：（1）分析物體受力情況，確定哪些力是恒力，哪些力是變力；（2）找出其中恒力的功及變力的功；（3）分析物體初末狀態(tài)，求出動(dòng)能變化量；（4）運(yùn)用動(dòng)能定理求解．