Question

如圖所示，長為L的絕緣細線，一端懸于O點，另一端連接一質(zhì)量為m的帶負電小球，置于水平向右的勻強電場中，在O點正下方釘一個釘子O′，已知小球受到的電場力為重力的

1

3

，現(xiàn)將細線向右水平拉直后從靜止釋放，細線碰到釘子后要使小球剛好繞釘子O′在豎直平面內(nèi)作圓周運動，求OO′長度．

Answer 1

分析：本題是一個擺在重力場和電場的疊加場中的運動問題，由于重力場和電場力做功都與路徑無關，因此可以把兩個場疊加起來看成一個等效力場來處理，如圖所示，分析小球的運動過程：擺球先沿電場力與重力的合力方向做勻加速直線運動，繩子繃緊瞬間，沿繩子方向的分速度突然減小為零，再以切向分速度繞O′點做圓周運動．在等效力場中，過點O′做合力F的平行線與圓的交點為Q，即為擺球繞O′點做圓周運動的“最高點”，由合力提供向心力，求出“最高點”的臨界速度表達式，再結合能量守恒列式求解．

解答：解：由于重力場和電場力做功都與路徑無關，因此可以把兩個場疊加起來看成一個等效力場來處理，如圖所示，有：
tanθ=

mg

Eq

=

mg

1 3 mg

=

3

得：θ=60°
開始時，擺球在合力F的作用下沿力的方向作勻加速直線運動，從A點運動到B點，由圖可知，△AOB為等邊三角形，則擺球從A到B，在等效力場中，由能量守恒定律得：F=

1

2

m

v

2 B

　
在B點處，由于在極短的時間內(nèi)細線被拉緊，擺球受到細線拉力的沖量作用，法向分量v₂變?yōu)榱�，切向分量為�?br />v₁=v_Bcos30°=

3

2

vB
接著擺球以v₁為初速度沿圓弧BC做變速圓周運動，碰到釘子O′后，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，在等效力場中，過點O′做合力F的平行線與圓的交點為Q，即為擺球繞O′點做圓周運動的“最高點”，在Q點應滿足：F=m

v 2 Q

R

根據(jù)能量守恒定律得：

1

2

m

v

2 1

+（-

1

2

FL）=

1

2

m

v

2 Q

+[-F（L-R）cos30°-R]
聯(lián)立方程可解得：R=

2 3 +1

2 3 +6

L
所以得：OO′=L-R=

5

2 3 +6

L
答：OO′長度是

5

2 3 +6

L．

點評：考生以前做過不少“在重力場中釋放擺球．擺球沿圓弧線運動的習題”．受到這道題思維定勢的影響，沒能分析出本題的擺球是在重力場和電場疊加場中運動．小球同時受到重力和電場力的作用，這兩個力對擺球運動軌跡都有影響．受“最高點”就是幾何上的最高點的思維定勢的影響，沒能分析清楚物理意義上的“最高點”含義．在重力場中應是重力方向上物體運動軌跡的最高點，恰好是幾何意義上的最高點．而本題中，“最高點”則是重力與電場力的合力方向上擺球運動的軌跡的最高點．