Question

如圖所示是建筑工地上常用的一種“深穴打夯機”。工作時，電動機帶動兩個緊壓夯桿的滾輪勻速轉動將夯桿從深為h的坑中提上來，當兩個滾輪彼此分開時，夯桿被釋放，最后夯桿在自身重力的作用下落回深坑，夯實坑底；然后兩個滾輪再次壓緊，夯桿再次被提上來，如此周而復始工作。已知兩個滾輪邊緣的線速度v恒為4m/s，每個滾輪對夯桿的正壓力F_N =2×10⁴ N，滾輪和夯桿間的動摩擦因數μ =" 0.3" ，夯桿的質量m =1×10 ³kg，坑深h ="6.4m" 。假定在打夯的過程中坑的深度變化不大，且夯的低端升到坑口時，速度正好為零。取g =10m/s²。試求：
（1）夯桿上升的過程中，被滾輪釋放時它的速度為多大？
此時夯桿低端離坑底多高？
（2）每個打夯周期中，電動機對夯桿所做的功為多少？
（3）每個打夯周期中，由于摩擦產生的熱量。
（4）打夯周期T.

Answer 1

（1）5.6 m （2）6.4×10⁴J （3）3.9s  

（1）分析夯桿，由牛頓第二定律 2μF_N –mg =ma        
當夯桿與滾輪速度相同時，v = at                    
此時夯桿上升的高度h₁ =" vt/2" = 4m               
當夯桿以v =" 4m/s" 初速度豎直上拋時，
上升的高度為h₂ = v²/2g =" 0.8m" ，h ₁ + h₂ =" 4.8" m < h    
因此，夯桿先勻加速上升，后勻速上升，最后豎直上拋。
勻速上升的高度為h₃ =" h" - h ₁- h₂  =" 1.6" m               
夯桿上升的過程中，被滾輪釋放時它的速度為4m/s
此時夯桿低端離坑底 Δh =" h" – h₂ =" 5.6" m              
(2) 由功能關系，每個打夯周期中，電動機對夯桿所做的功  w =" mgh" =" " 6.4×10⁴J 
(3) 夯桿先勻加速上升的時間 t=" v/a" = 2s            
滾輪的輪緣在相同時間內通過的路程為s   S =" vt" =" 8m    "
相對夯桿的路程為Δs =" s" – h₁ =" 4m" ,             
產生的熱量Q = 2μF_N Δs = 4.8×10⁴J                      
（4）夯桿先勻加速上升的時間 t₁ =" 2" s
勻速上升的時間 t₂ = h₃ /v = 0.4s                  
被滾輪釋放后到達最高點的時間為 t₃ =" v/g" = 0.4s      
自最高點自由下落到坑底的時間為 t ₄
由h = gt₄² /2   t₄ =" 1.1" s                     
打夯周期T = t₁ + t₂ + t₃+t₄ = 3.9s