Question

如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質量均為m的小球A、B以不同速率進入管內．
（1）若A球剛好能通過最高點C，則A球在最高點C的速度多大？
（2）A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為5mg，B通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0.5mg．求A、B兩球落地點間的距離．

Answer 1

分析：（1）小球在豎直放置的圓形管道內恰好做圓周運動的條件是，在最高點速度為零．
（2）分別對A、B進行受力分析，由牛頓第二定律列方程，分別求出A、B在最高點C的速度；
A、B兩球離開C點后做平拋運動，利用運動的合成與分解求出A、B的水平位移；最后求它們落地點間的距離．

解答：解：（1）管道即可對小球提供向下的壓力，也可以提供向上的支持力，
小球的重力與管道對小球的作用力的合力可以滿足小球做圓周運動所需要的向心力，小球在向最高點運動的過程中，動能轉化為重力勢能，速度越來越小，
只要小球到達最高點時v≥0，小球就能通過最高點做圓周運動，
因此小球A球剛好能通過最高點的條件是v=0，
A球剛好能通過最高點C，A球在最高點C的速度v_A=0．         
（2）A球在最高點受力如圖一所示，由題意知：球A對管壁的壓力F_NA′=5mg，
由牛頓第三定律得：F_NA=F_NA′=5mg，
由牛頓第二定律得：mg+5mg=m

v 2 A

R

得vA=

6gR

；
B球在最高點受力如圖二所示，由題意知：球B對管壁的壓力F_NB′=0.5mg，
由牛頓第三定律得：F_NB=F_NB′=0.5mg
由牛頓第二定律得：mg-0.5mg=m

v 2 B

R

得vB=

0.5gR

；
小球離開軌道最高點C后做平拋運動，h=2R=

1

2

gt²，
球做平拋運動的時間t=

2h g

=

4R g

，
A、B兩球落地點間的距離△x=(vA-vB)t=(2

6

-

2

)R．
答：（1）A球在最高點C的速度v_A=0．
（2）A、B兩球落地點間的距離為（2

6

-

2

）R．

點評：本題考查了圓周運動與平拋運動，是一道中檔題；知道A球剛好能通過最高點C的條件是速度為零、對小球正確受力分析是解題的關鍵