Question

圖示是我國的“探月工程”向月球發(fā)射一顆繞月探測衛(wèi)星“嫦娥一號”過程簡圖．月球探測計劃“嫦娥工程”預計在2017年送機器人上月球，實地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準備．設想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實驗儀器：
A．計時表一只，B．彈簧秤一把，C．已知質量為m的物體一個，D．天平一只（附砝碼一盒）．
在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月球做勻速圓周運動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行了第二次測量，利用上述兩次測量的物理量可出推導出月球的半徑和質量．（已知萬有引力常量為G），要求：
（1）說明機器人是如何進行第二次測量的？
（2）試推導用上述測量的物理量表示的月球半徑和質量的表達式．
（3）若已知R_月=R_地，g_月=g_地，則近月衛(wèi)星的運行速度約為近地衛(wèi)星運行速度的多少倍？

Answer 1

【答案】分析：（1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大小．
（2）靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，求出月球表面重力加速度．不考慮月球的自轉影響，根據(jù)重力近似等于月球的萬有引力，列方程得出月球表面重力加速度與月球半徑的關系式，再飛船在繞月球運行時，由萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力列方程，得到月球質量與月球半徑、飛船周期的關系式，再聯(lián)立求解月球半徑和質量的表達式．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，得到近月衛(wèi)星和近地衛(wèi)星速度的表達式，再求出兩速度之比．
解答：解：（1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
    （2）在月球上忽略月球的自轉可知  mg_月=F  ①②
飛船在繞月球運行時，因為是靠近月球表面，故近似認為其軌道半徑為月球的半徑R，由萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力可知③又 ④
由①．②．③．④式可知月球的半徑 ，
月球的質量  ．
    （3）設近月衛(wèi)星和近地衛(wèi)星的速度分別為v_月、v_地．
由得
則．
答：（1）機器人是這樣進行第二次測量的：機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大小．
   （2）月球半徑的表達式R=，質量表達式量．
   （3）近月衛(wèi)星的運行速度約為近地衛(wèi)星運行速度的倍．
點評：登月飛船繞月球旋轉與人造衛(wèi)星繞地球運行相似，要建立物理模型：飛船繞月做勻速圓周運動，由月球的萬有引力提供飛船的向心力．