Question

14．2011年7月11日23時(shí)41分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)丙運(yùn)載火箭，成功將“天鏈一號(hào)02星”送入太空．火箭飛行約26分鐘后，西安衛(wèi)星測(cè)控中心傳來的數(shù)據(jù)表明，星箭分離，衛(wèi)星成功進(jìn)入地球同步轉(zhuǎn)移軌道．“天鏈一號(hào)02星”是我國(guó)第二顆地球同步軌道數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星，又稱跟蹤和數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星，由中國(guó)航天科技集團(tuán)公司所屬中國(guó)空間技術(shù)研究院為主研制．中繼衛(wèi)星被譽(yù)為“衛(wèi)星的衛(wèi)星”，是航天器太空運(yùn)行的數(shù)據(jù)“中轉(zhuǎn)站”，用于轉(zhuǎn)發(fā)地球站對(duì)中低軌道航天器的跟蹤測(cè)控信號(hào)和中繼航天器發(fā)回地面的信息的地球靜止通信衛(wèi)星．（$\root{3}{0.4}$=0.7）
（1）已知地球半徑R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s²，地球自轉(zhuǎn)周期T=24h，請(qǐng)你估算“天鏈一號(hào)02星”的軌道半徑為多少？（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）
（2）某次有一個(gè)赤道地面基站發(fā)送一個(gè)無線電波信號(hào)，需要位于赤道地面基站正上方的“天鏈一號(hào)02星”把該信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)到同軌道的一個(gè)航天器，如果航天器與“天鏈一號(hào)02星”處于同軌道最遠(yuǎn)可通信距離的情況下，航天器接收到赤道地面基站的無線電波信號(hào)的時(shí)間是多少？已知地球半徑為R，地球同步衛(wèi)星軌道半徑為r，無線電波的傳播速度為光速c．

Answer 1

分析 （1）同步衛(wèi)星的周期已知，根據(jù)衛(wèi)星所受萬有引力提供向心力，在地球表面萬有引力和重力相等，由此可以計(jì)算出同步衛(wèi)星的軌道半徑r；
（2）求信號(hào)傳輸時(shí)間，需要確定信號(hào)傳輸?shù)木嚯x，需要由題意畫出傳輸示意圖，根據(jù)幾何關(guān)系得傳輸距離，由$t=\frac{s}{v}$可得信號(hào)傳輸?shù)臅r(shí)間．

解答 解：（1）由題意知“天鏈一號(hào)02星”是地球同步衛(wèi)星，周期T=24h，衛(wèi)星在運(yùn)行過程中受地球的萬有引力提供向心力，令地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星軌道半徑為r，地球半徑為R，則有
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$
得衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌道半徑r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$         ①
又因?yàn)榈厍虮砻嬷亓Φ扔谌f有引力，即滿足$mg=G\frac{mM}{{R}^{2}}$得地球質(zhì)量為$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$     ②
把②代入①得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{10×（6400×1{0}^{3}）^{2}×（24×3600）^{2}}{4×（3.14）^{2}}}m$≈4×10⁷m．
（2）

“天鏈一號(hào)02星”與同軌道的航天器的運(yùn)行軌道都是同步衛(wèi)星軌道，所以“天鏈一號(hào)02星”與同軌道的航天器繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的半徑為r
“天鏈一號(hào)02星”與航天器之間的最遠(yuǎn)時(shí)的示意圖如圖所示．由幾何知識(shí)可知：“天鏈一號(hào)02星”與航天器之間的最遠(yuǎn)距離
$S=2\sqrt{{r^2}-{R^2}}$
無線電波從發(fā)射到被航天器接收需要分兩步．首先
赤道地面基站A發(fā)射的信號(hào)被中繼衛(wèi)星B接收，信號(hào)傳輸距離為r-R，則信號(hào)傳輸時(shí)間
${t_1}=\frac{r-R}{c}$
然后中繼衛(wèi)星B再把信號(hào)傳遞到同軌道的航天器C，信號(hào)傳輸距離$S=2\sqrt{{r^2}-{R^2}}$，則信號(hào)傳輸時(shí)間為
${t_2}=\frac{S}{c}=\frac{{2\sqrt{{r^2}-{R^2}}}}{c}$
所以共用時(shí)：$t={t_1}+{t_2}=\frac{r-R}{c}+\frac{{2\sqrt{{r^2}-{R^2}}}}{c}$
答：（1）軌道半徑r=4×10⁷m
（2）航天器接收到赤道地面基站的無線電波信號(hào)的時(shí)間是$t=\frac{r-R}{c}+\frac{2\sqrt{{r}^{2}-{R}^{2}}}{c}$．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力、萬有引力和表面的重力大小相等，能根據(jù)題設(shè)條件列方程求解，信號(hào)傳輸?shù)臅r(shí)間需要正確的畫出信號(hào)傳輸?shù)氖疽鈭D，根據(jù)幾何關(guān)系求出傳輸距離，然后求得時(shí)間．