Question

13．如圖a所示，水平放置的兩根間距L=0.5m足夠長的平行金屬導(dǎo)軌MN和PQ，在M、P之間接有阻值R=0.2Ω的定值電阻．一質(zhì)量m=0.1kg的均勻?qū)�體棒ab垂直于導(dǎo)軌放在距離左端d=1.0m處，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好，整個(gè)裝置處在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，t=0時(shí)刻，磁場(chǎng)方向豎直向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化如圖b所示．不計(jì)感應(yīng)電流磁場(chǎng)的影響，當(dāng)t=3s時(shí)，突然使ab棒獲得向右的速度v₀=8m/s，同時(shí)在棒上施加一方向水平、大小可變化的外力F，保持ab棒具有大小恒為a=4m/s²、方向向左的加速度．已知導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒電阻均忽略不計(jì)，取重力加速度大小g=10m/s²，求：

（1）前3s內(nèi)ab棒中感應(yīng)電流的大小和方向；
（2）當(dāng)ab棒的位移s₁=3.5m時(shí)，外力F的大小和方向；
（3）從t=0時(shí)刻開始，當(dāng)通過電阻R的電量q=2.25C時(shí)，ab棒正在向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)撤去外力F，此后ab棒又運(yùn)動(dòng)了s₂=6.05m后靜止．求撤去外力F后電阻R上產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）由圖b的斜率讀出$\frac{△B}{△t}$，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求解感應(yīng)電流的大小，根據(jù)楞次定律判斷感應(yīng)電流的方向．
（2）t=3s后，ab棒做勻變速運(yùn)動(dòng)，位移s₁=3.5m時(shí)，由公式v²-${v}_{0}^{2}$=2as求出速度大小，由安培力公式F=BIL和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=BLv、歐姆定律求出安培力的大小，再由牛頓第二定律求解外力F．要分導(dǎo)體棒向左和向右兩種情況研究．
（3）由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式結(jié)合求出3s后到撤去外力F時(shí)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的位移s，再運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理結(jié)合求解熱量．

解答 解：（1）由圖知$\frac{△B}{△t}$=$\frac{0.2}{2}$=0.1T/s，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，則有：$E=\frac{△∅}{△t}$=$\frac{△BLd}{△t}$=0.1×0.5×1V=0.05V
由閉合電路歐姆定律，則有：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{0.05}{0.2}$=0.25A；
根據(jù)楞次定律，ab棒中電流方向?yàn)橛蒩到b；

（2）ab棒做勻變速運(yùn)動(dòng)，位移s₁=3.5m時(shí)，速度大小設(shè)為v₁，則
v₁²-${v}_{0}^{2}$=2as   
代入數(shù)據(jù)a=-4m/s²     
解得：v₁=6m/s
對(duì)應(yīng)安培力大�。篎_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$=$\frac{0．{1}^{2}×0．{5}^{2}×6}{0.2}$=0.075N     
向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)+μmg+F_A=ma，F(xiàn)+0.1+0.075=0.1×4，F(xiàn)=0.225N；方向向左；
向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)-μmg-F_A=ma，F(xiàn)-0.1-0.075=0.1×4，F(xiàn)=0.575N；方向向右；
（3）前3s內(nèi)通過電阻R的電量為：q₁=I×△t=0.25×3 C=0.75C  
設(shè)3s后到撤去外力F時(shí)又運(yùn)動(dòng)了s則有：
${q}_{2}=\overline{I}△t$=$\frac{△∅}{△t×R}$×△t=$\frac{△∅}{R}$=$\frac{BIs}{R}$=q-q₁=1.5C；
解得：s=6m
此時(shí)ab棒的速度設(shè)為v₂則：
v₂²-${v}_{0}^{2}$=2as           
解得：v₂=4m/s
此后到停止，由動(dòng)能定理：
W_A+W_f=△E_k  
且W_A=-Q
解得：Q=W_f-△E_k=-μmgs₂-（0-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$）=（-0.605+0.8）J=0.195J．
答：（1）前3s內(nèi)ab棒中感應(yīng)電流的大小0.25A和方向由a到b；
（2）當(dāng)ab棒的位移s₁=3.5m時(shí)，外力F的大小0.575N和方向向右；
（3）撤去外力F后電阻R上產(chǎn)生的熱量0.195J．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要正確分析導(dǎo)體棒的受力情況和能量轉(zhuǎn)化的情況，熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，感應(yīng)電量與磁通量變化的關(guān)系，正確把握功和能的關(guān)系．