Question

（16分）用圖所示的水平傳送帶AB和斜面BC將貨物運(yùn)送到斜面的頂端。傳送帶AB的長(zhǎng)度L=11m，上表面保持勻速向右運(yùn)行，運(yùn)行的速度v=12m/s。傳送帶B端靠近傾角q=37°的斜面底端，斜面底端與傳送帶的B端之間有一段長(zhǎng)度可以不計(jì)的小圓弧。在A、C處各有一個(gè)機(jī)器人，A處機(jī)器人每隔Dt=1.0s將一個(gè)質(zhì)量m=10kg的貨物箱（可視為質(zhì)點(diǎn)）輕放在傳送帶A端，貨物箱經(jīng)傳送帶和斜面后到達(dá)斜面頂端的C點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，C點(diǎn)處機(jī)器人立刻將貨物箱搬走。已知斜面BC的長(zhǎng)度s=5.0m，傳送帶與貨物箱之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₀=0.55，貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過(guò)程中速度大小損失原來(lái)的，g=10m/s²（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求：

（1）斜面與貨物箱之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；

（2）從第一個(gè)貨物箱放上傳送帶A端開(kāi)始計(jì)時(shí)，在t₀=3.0 s的時(shí)間內(nèi)，所有貨物箱與傳送帶的摩擦產(chǎn)生的熱量Q；

（3）如果C點(diǎn)處的機(jī)器人操作失誤，未能將第一個(gè)到達(dá)C點(diǎn)的貨物箱搬走而造成與第二個(gè)貨物箱在斜面上相撞。求兩個(gè)貨物箱在斜面上相撞的位置到C點(diǎn)的距離。（本問(wèn)結(jié)果可以用根式表示）

 

Answer 1

（16分）（1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)牛頓第二定律有

μ₀ mg =ma₀

解得                 a₀=μ₀ g=5.5m/s²                                      (2分)

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式       v₁²=2 a₀L

解得貨物箱運(yùn)動(dòng)到傳送帶右端時(shí)的速度大小為      v₁=11m/s

貨物箱剛沖上斜面時(shí)的速度       v₂=(1－)v₁=10m/s

貨物箱在斜面上向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中      v₂²=2 a₁s

解得                         a₁=10m/s²                                   (2分)

根據(jù)牛頓第二定律       mgsinq+mmgcosq=ma₁

解得                     m=0.5                                       (2分)

（2）3.0s內(nèi)放上傳送帶的貨物箱有3個(gè)，前2個(gè)已經(jīng)通過(guò)傳送帶，它們?cè)趥魉蛶�上的加速時(shí)間t₁= t₂=2.0s；第3個(gè)還在傳送帶上運(yùn)動(dòng)，其加速時(shí)間 t₃=1.0s。

前2個(gè)貨物箱與傳送帶之間的相對(duì)位移    

Ds=v t₁-v₁t₁=13m

第3個(gè)貨物箱與傳送帶之間的相對(duì)位移

Ds¢=vt₃-v₁t₃=9.25m                          (2分)

前2個(gè)貨物箱與傳送帶摩擦產(chǎn)生的總熱量為

Q₁=2μ₀ mgDs =1430J               

第三個(gè)貨物箱與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量為：

Q₂=μ₀ mgDs¢ =508.75J。                         (2分)

總共生熱            Q＝Q₁+Q₂＝1938.75J。                           (2分)

（3）貨物箱由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為2.0s，由B運(yùn)動(dòng)到C的時(shí)間為1.0s，可見(jiàn)第一個(gè)貨物箱沖上斜面C端時(shí)第二個(gè)貨物箱剛好沖上斜面。

貨物箱沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有

mgsinq-mmgcosq=ma₂

解得加速度大小                a₂=2.0m/s²                                 (1分)

設(shè)第一個(gè)貨物箱在斜面C端沿斜面向下運(yùn)動(dòng)與第二個(gè)貨物箱相撞的過(guò)程所用時(shí)間為t，有                      v₂ t -a₁t ²+a₂t ²=s

解得                   s ≈ 0.69 s                               (1分)

兩個(gè)貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離

s₁ =a₂t ²=m ≈ 0.48 m                     (2分)