Question

4．如圖所示，在坐標系xOy內有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標為O₁（a，0），圓內分布有垂直紙面向里的勻強磁場．在直線y=a的上方和直線x=2a的左側區(qū)域內，有一沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E．一質量為m、電荷量為+q（q＞0）的粒子以速度v從O點垂直于磁場方向射入，當速度方向為x軸正方向時，粒子恰好從O₁點正上方的A點射出磁場，不計粒子重力．
（1）求磁感應強度B的大�。�
（2）粒子在第一象限內運動到最高點時的位置坐標；
（3）求粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間t．

Answer 1

分析 （1）根據幾何關系先得到圓心、半徑，再根據洛倫茲力提供向心力列式求解B；
（2）粒子離開磁場后，進入電場，根據動能定理列式求解粒子在電場中的位移，從而得到最高點的坐標．
（3）粒子在磁場中做圓周運動，先得到第一次圓心和射出點，進入電場后，又沿原路返回，再得到第二次圓心和射出點，最后得到總時間．

解答 解：（1）設粒子在磁場中做圓運動的軌跡半徑為R，根據牛頓第二定律，有
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
粒子自A點射出，由幾何知識得：R=a
解得  B=$\frac{mv}{qa}$
即磁感應強度B的大小為$\frac{mv}{qa}$．
（2）粒子從A點向上在電場中做勻減運動，設在電場中減速的距離為y
由動能定理，得到-Eqy=0-$\frac{1}{2}$mv²；
解得y=$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$
故粒子在第一象限內運動到最高點時的位置坐標為[a，（a+$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）]
（3）畫出粒子的運動軌跡如圖．
粒子在磁場中運動的時間為 t_B=$\frac{1}{2}T$=$\frac{1}{2}•\frac{2πa}{v}$=$\frac{πa}{v}$
在電場中運動的時間為 t_E=2$•\frac{v}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2mv}{qE}$
故粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間 t=t_B+t_E=$\frac{πa}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$
答：
（1）磁感應強度B的大小是$\frac{mv}{qa}$；
（2）粒子在第一象限內運動到最高點時的位置坐標是[a，（a+$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）]；
（3）求粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間t是$\frac{πa}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$．

點評 本題關鍵先確定圓心、半徑，然后根據洛倫茲力提供向心力列式求解；第三問關鍵先根據題意，分析后畫出物體的運動軌跡，然后再列式計算．