Question

19．如圖所示，傾角θ=37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個(gè)輪半徑和質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪D，質(zhì)量均為m=1kg的物體A和B用一勁度系數(shù)k=240N/m的輕彈簧連接，物體B被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋�。�用一不可伸長的輕繩使物體A跨過定滑輪與質(zhì)量為M的小環(huán)C連接，小環(huán)C穿過豎直固定的光滑均勻細(xì)桿，當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)靜止時(shí)，環(huán)C位于Q處，繩與細(xì)桿的夾角α=53°，且物體B對(duì)擋板P的壓力恰好為零．圖中SD水平且長度為d=0.2m，位置R與位置Q關(guān)于位置S對(duì)稱，輕彈簧和定滑輪右側(cè)的繩均與斜面平行．現(xiàn)讓環(huán)C從位置R由靜止釋放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）小環(huán)C的質(zhì)量M；
（2）小環(huán)C通過位置S時(shí)的動(dòng)能E_k及環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到位置S的過程中輕繩對(duì)環(huán)做的功W_T；
（3）小環(huán)C運(yùn)動(dòng)到位置Q的速率v．

Answer 1

分析 （1）該題中，共有ABC三個(gè)物體與彈簧組成一個(gè)系統(tǒng)，受力的物體比較多，可以先以AB組成的整體為研究對(duì)象，求出繩子的拉力，然后以C為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，即可求出C的質(zhì)量；
（2）由幾何關(guān)系求出繩子RD段的長度，再以B為研究對(duì)象，求出彈簧的伸長量，以及后來的壓縮量，最后根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出C的速度、動(dòng)能；由動(dòng)能定理求出輕繩對(duì)環(huán)做的功W_T；
（3）由機(jī)械能守恒定律即可求出C的速度．

解答 解：（1）先以AB組成的整體為研究對(duì)象，AB系統(tǒng)受到重力．支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力為：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C為研究對(duì)象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態(tài)，如圖，則：

T•cos53°=Mg
代入數(shù)據(jù)得：M=0.72kg
（2）由題意，開始時(shí)B恰好對(duì)擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長狀態(tài)；
產(chǎn)生B沿斜面方向的受力：F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
彈簧的伸長量：△x₁=mgsinθ/K=0.025m
當(dāng)小環(huán) C 通過位置 S 時(shí)A下降的距離為x_A=$\fraccjh9cj0{sinα}-d$=0.05m
此時(shí)彈簧的壓縮量△x₂=x_A-△x₁=0.025m
由速度分解可知此時(shí)A的速度為零，所以小環(huán)C從R運(yùn)動(dòng)到S的過程中，初末態(tài)的彈性勢(shì)能相等，對(duì)于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒有：Mgdcotα+mgx_Asinθ=E_k
解得：E_k=1.38J
環(huán)從位置 R 運(yùn)動(dòng)到位置 S 的過程中，由動(dòng)能定理可知：W_T+Mgdcotα=Ek
解得：W_T=0.3J
（3）環(huán)從位置 R 運(yùn)動(dòng)到位置 Q 的過程中，對(duì)于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
Mg．（2dcotα）=$\frac{1}{2}M{v^2}+\frac{1}{2}m{v_A}^2$
對(duì)環(huán)在Q點(diǎn)的速度進(jìn)行分解如下圖，則：

 v_A=vcosα
兩式聯(lián)立可得：v=2m/s
答：（1）小環(huán)C的質(zhì)量 是0.72kg；
（2）小環(huán)C通過位置S時(shí)的動(dòng)能E_k是1.38J，環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到位置S的過程中輕繩對(duì)環(huán)做的功是0.3J；
（3）小環(huán)C運(yùn)動(dòng)到位置Q的速率是2m/s．

點(diǎn)評(píng) 該題中，第一問相對(duì)比較簡單，解答的關(guān)鍵是第二問，在解答的過程中一定要先得出彈簧的彈性勢(shì)能沒有變化的結(jié)論，否則解答的過程不能算是完整的．