Question

17．如圖所示，一足夠大的傾角θ=30°的粗糙斜面上有一個粗細均勻的由同種材料制成的金屬線框abcd，線框的質(zhì)量m=0.6kg，其電阻值R=1.0Ω，ab邊長L₁=1m，bc邊長L₂=2m，與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{9}$．斜面以EF為界，EF上側(cè)有垂直于斜面向上的勻強磁場．一物體通過絕緣細線跨過光滑定滑輪與線框相連，連接線框的細線與斜面平行且線最初處于松弛狀態(tài)．現(xiàn)先釋放線框再釋放物體，當cd邊離開磁場時線框即以v=2m/s的速度勻速下滑，在ab邊運動到EF位置時，細線恰好被拉直繃緊（極短時間內(nèi)線框速度變化且反向），隨即物體和線框一起勻速運動t=2s后開始做勻加速運動．取g=10m/s²，求：
（1）勻強磁場的磁感應強度B；
（2）物體勻加速運動的加速度a；
（3）若已知在線框cd邊離開磁場至重新進入磁場過程中系統(tǒng)損失的機械能為21.6J，求繩子突然繃緊過程系統(tǒng)損失的機械能△E．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線框做勻速下滑，結(jié)合平衡，根據(jù)安培力表達式求出磁感應強度的大�。�
（2）根據(jù)位移公式求出勻速運動的速度，對線框和物體分別運用共點力平衡得出物體的質(zhì)量，對整體分析，根據(jù)牛頓第二定律得出加速度．
（3）根據(jù)線框勻速下滑和上滑過程中重力勢能的變化，結(jié)合能量守恒求出繩子突然繃緊過程系統(tǒng)損失的機械能△E．

解答 解：（1）當cd邊離開磁場時線框即以v=2m/s的速度勻速下滑，
根據(jù)平衡有：$mgsinθ=μmgcosθ+\frac{{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}v}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得B=1T．
（2）由題意，線框第二次勻速運動方向向上，設(shè)其速度為v₁，細線拉力為T，
則勻速運動的速度：v₁=$\frac{{L}_{2}}{t}=\frac{2}{2}m/s=1m/s$，
對線框，由平衡條件得：T-mgsinθ-μmgcosθ-$\frac{{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}v}{R}$=0，
對物體，由平衡條件得：T-Mg=0，
代入數(shù)據(jù)解得M=0.8kg，
當線框全部進入磁場后，做勻加速直線運動，對整體分析，加速度a=$\frac{Mg-mgsinθ-μmgcosθ}{M+m}$=$\frac{8-6×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{9}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.6+0.8}$m/s²=$\frac{20}{7}m/{s}^{2}$．
（3）線框勻速下滑過程：E₁=mgL₂sinθ=$0.6×10×2×\frac{1}{2}J=6J$，線框勻速上滑過程：E₂=MgL₂-mgL₂sinθ=8×2-6=10J
損失的機械能：△E′=E₁+△E+E₂，
代入數(shù)據(jù)解得：△E=5.6J．
答：（1）勻強磁場的磁感應強度B為1T；
（2）物體勻加速運動的加速度a為$\frac{20}{7}m/{s}^{2}$；
（3）繩子突然繃緊過程系統(tǒng)損失的機械能△E為5.6J．

點評 本題是一道綜合題，難度較大，分析清楚物體運動過程是解題的前提與關(guān)鍵，應用平衡條件、能量守恒定律可以解題．