Question

質量為m的帶電小球，從固定在地面上的半徑為R的光滑半圓軌道頂處由靜止開始沿逆時針方向滑下．
（1）若整個裝置處于磁感強度為B、方向垂直軌道平面向里的勻強磁場中，如圖所示，且小球始終未離開軌道表面，小球應帶何種電荷？電量至少多少？
（2）如果去掉磁場，而其它條件不變，小球會在什么地方離開軌道？

Answer 1

分析：（1）分析小球的受力：重力、支持力，洛侖茲力，只有重力做功，其機械能守恒．小球在軌道最低點最容易離開軌道表面，由題意小球始終未離開軌道表面，在最低點由洛倫茲力的支持力的合力提供向心力，當支持力N=0時，洛倫茲力最小，電量最�。�由機械能守恒和牛頓第二定律求解．
（2）如果去掉磁場，小球在到達最低點前離開軌道，剛離開時軌道的支持力為零，由重力沿半徑方向的分力提供向心力，根據牛頓第二定律和機械能守恒結合求小球與軌道球心連線和豎直方向的夾角．

解答：解：（1）小球沿半球表面滑下至最低點的過程受重力、支持力，洛侖茲力這三個力的作用，但只有重力做功，機械能守恒，則有  
  mgR=

1

2

mv²
設小球下滑至最低點時的速度為v，則：v=

2gR

  ①
在最低點有：QvB-N=m

v2

R

由①知小球在最低點的速度v是一定的，要使Q最小，則必須N=0，設此時的油滴電量為Q₀，即 Q₀vB=m

v2

R

  ②
聯(lián)解①、②得帶電量至少為 Q₀=

m 2gR

BR

，
由左手定則判斷知：小球帶正電．
（2）設小球在與過圓心的豎直半徑成θ角處離開球面，此刻速度為v₁
則在此處有：mgcosθ-N=m

v 2 1

R

  ①
小球在離開球面處有  N=0  ②
又據機械能守恒定律：mgR（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 1

  ③
聯(lián)解①②③得：cosθ=

2

3

即：θ=arccos

2

3

         
當小球滑至與球心連線與豎直方向成cos^-1

2

3

角的位置時離開軌道．
答：
（1）小球帶正電，電量至少

m 2gR

BR

，
（2）如果去掉磁場，而其它條件不變，當小球滑至與球心連線與豎直方向成cos^-1

2

3

角的位置時離開軌道．

點評：本題的解題關鍵是確定臨界條件：當小球剛離開軌道時，支持力為零，再根據牛頓第二定律、機械能守恒和向心力進行求解．