Question

有一勻強(qiáng)磁場分布在以O(shè)為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)，磁場方向垂直于xy平面（磁場未畫出）．某時刻起一個質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速為v，方向沿x軸正方向．最終粒子到達(dá)y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，已知OP的距離為L，如圖所示．不計重力的影響．
（1）求磁場區(qū)域的半徑R及磁場的磁感強(qiáng)度B的大��；
（2）求帶電粒子從O運動到P點的時間t；
（3）若在P點的上半部存在一與水平方向成30°的勻強(qiáng)電場E，則帶電粒子再次到達(dá)y軸上的點Q點（未畫出）時，距O點的距離S．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子垂直進(jìn)入磁場后，由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運動，軌跡的圓心應(yīng)在y軸正方向上，畫出軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，由牛頓第二定律列式求出磁感強(qiáng)度B的大��；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，離開磁場后到P點做勻速直線運動．根據(jù)軌跡所對應(yīng)的圓心角求出在磁場中運動時間，根據(jù)距離求出勻速直線運動．
（3）粒子從P點飛出后，在電場中做類平拋運動，再次到y(tǒng)軸時，沿電場方向與垂直電場方向的兩個分位移之比等于tan30°，運用運動的分解方法，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式求解S．

解答：解：（1）畫出磁場區(qū)域及粒子運動的軌跡如圖，設(shè)粒子圓周運動的半徑為r，由幾何知識可得：
      r+2r=L，即得：r=

1

3

L    
磁場區(qū)域的半徑為 R=

3

r=

3

3

L
由qvB=m

v2

r

可得：B=

3mv

qL

（2）粒子做勻速圓周運動的周期為：T=

2πR

v

=

2π 3 L

3v

設(shè)粒子在磁場中運動的時間為t₁，粒子在磁場中速度方向偏轉(zhuǎn)120°角，則粒子軌跡所對應(yīng)的圓心角為120°，則有：
   t1=

1

3

T=

2 3 πL

9v

粒子從A到P做勻速直線運動，設(shè)AP距離為d，所用時間為t₂，則：
   d=

3

r，
故t2=

d

v

=

3 L

3v

粒子從O到P所用時間為t，有：t=t1+t2=

2 3 πL

9v

+

3 L

3v

=

3 L

9v

(2π+3)
（3）粒子從P點飛出后，在電場中做類平拋運動，設(shè)所用時間為t₃，則：
   加速度為a=

qE

m

   垂直于電場方向有：X=vt₃
   沿電場方向：Y=

1

2

a

t

2 3

  又tanθ=

Y

X

，s=L+Xcosθ
聯(lián)立上式，解得：s=L+

4mv2

3qE

答：
（1）磁場區(qū)域的半徑R

3

3

L．磁場的磁感強(qiáng)度B的大小

3mv

qL

；
（2）帶電粒子從O運動到P點的時間t為

3 L

9v

(2π+3)；
（3）若在P點的上半部存在一與水平方向成30°的勻強(qiáng)電場E，帶電粒子再次到達(dá)y軸上的點Q點（未畫出）時，距O點的距離S為L+

4mv2

3qE

．

點評：本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，處理磁場中圓周運動的基本方法是畫軌跡，運用幾何知識求出軌跡半徑，電場中運用運動的分解法求解相關(guān)量．