Question

3．某一金屬細導線的橫截面積為S、電阻率為ρ，將此細導線彎曲成半徑為r的導體圓環(huán)，細導線的直徑遠遠小于圓環(huán)的半徑r．將此導體圓環(huán)水平地固定，在導體圓環(huán)的內部存在豎直向上的勻強磁場，如圖甲所示，磁感應強度的大小隨時間的變化關系為B=kt（k＞0且為常量）．該變化的磁場會產生渦旋電場，該渦旋電場存在于磁場內外的廣闊空間中，其電場線是在水平面內的一系列沿順時針方向的同心圓（從上向下看），圓心與磁場區(qū)域的中心重合，如圖乙所示．該渦旋電場會趨使上述金屬圓環(huán)內的自由電子定向移動，形成電流．在半徑為r的圓周上，渦旋電場的電場強度大小E_渦處處相等，并且可以用E_渦=$\frac{ε}{2πr}$計算，其中ε為由于磁場變化在半徑為r的導體圓環(huán)中產生的感生電動勢．渦旋電場力與電場強度的關系和靜電力與電場強度的關系相同．
經典物理學認為，金屬的電阻源于定向運動的自由電子和金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞．假設電子與金屬離子碰撞后其定向運動的速度立刻減為零，之后再次被渦旋電場加速，再次碰撞減速為零，…，依此類推；所有電子與金屬離子碰撞的時間間隔都為τ，電子的質量為m、電荷量為-e．忽略電子運動產生的磁場、電子減速過程中的電磁輻射以及電子熱運動的影響，不考慮相對論效應．
（1）根據(jù)焦耳定律求在τ時間內導體圓環(huán)內產生的焦耳熱的大小；
（2）求單個電子在與金屬離子碰撞過程中損失的動能；
（3）設金屬細導線單位體積內的自由電子數(shù)為n，在題干中的情景和模型的基礎上推導金屬細導線的電阻率ρ的表達式（結果用n、e、τ、m表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應定律，結合閉合電路歐姆定律，及焦耳定律即可求解；
（2）根據(jù)渦旋電場表達式，求得電子受到電場力，再依據(jù)牛頓第二定律，與運動學公式，即可求解；
（3）先求出在τ時間內，導體中電子損失的總動能，再根據(jù)能量守恒定律，即可求解．

解答 解：（1）導體圓環(huán)內的磁通量發(fā)生變化，將產生感生電動勢，根據(jù)法拉第電磁感應定律，感生電動勢的大小為：
ε=$\frac{△ϕ}{△t}=\frac{△（BS）}{△t}=S\frac{△B}{△t}=π{r^2}$k
根據(jù)電阻定律，導體圓環(huán)的電阻為：R=ρ$\frac{2πr}{S}$
導體圓環(huán)內感生電流的大小為：I=$\frac{ε}{R}=\frac{krS}{2ρ}$
根據(jù)焦耳定律，在τ時間內，導體圓環(huán)內產生的焦耳熱為：Q=I²Rτ
聯(lián)立以上各式，解得：Q=I²Rτ=$\frac{{πSτ{k^2}{r^3}}}{2ρ}$
（2）根據(jù)題意知，由于磁場變化將在導體圓環(huán)中產生的渦旋電場，該電場的電場強度大小為：E=$\frac{ε}{2πr}=\frac{kr}{2}$
電子在該電場中受到電場力的作用，電場力的大小為：F=Ee=$\frac{ker}{2}$
電場力的方向與導線相切，即與速度方向相同，電子將會被加速，加速度大小為：a=$\frac{F}{m}=\frac{kre}{2m}$
經過時間τ，電子的速度達到最大，其值為：v_m=aτ=$\frac{kreτ}{2m}$
電子此時有最大的動能，該動能即為碰撞過程中損失的動能，其值為：E_km=$\frac{1}{2}m{v_m}^2=\frac{{{k^2}{r^2}{e^2}{τ^2}}}{8m}$
（3）從微觀上看，導體中共有電子數(shù)為：N=n•2πrS
所以，在τ時間內，導體中電子損失的總動能為：E_k=NE_km
從宏觀上看，在τ時間內，導體產生的焦耳熱為第（1）中求得的Q，電子損失的動能表現(xiàn)為宏觀上導體發(fā)熱，根據(jù)能量守恒定律得E_k=Q
聯(lián)立以上各式，解得：ρ=$\frac{2m}{{n{e^2}τ}}$
答：（1）在τ時間內導體圓環(huán)內產生的焦耳熱的大小$\frac{{πSτ{k^2}{r^3}}}{2ρ}$；
（2）單個電子在與金屬離子碰撞過程中損失的動能$\frac{{k}^{2}{r}^{2}{e}^{2}{τ}^{2}}{8m}$；
（3）金屬細導線的電阻率ρ的表達式$\frac{2m}{{n{e^2}τ}}$．

點評 考查法拉第電磁感應定律的應用，掌握閉合電路歐姆定律與焦耳定律，及能量守恒定律的內容，注意符號之間的運算正確性，及物理模型的架構與物理規(guī)律的正確選用是解題的關鍵．