Question

（2008?如皋市模擬）人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)時，既具有動能又具有引力勢能（引力勢能實際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡略地說此勢能是人造衛(wèi)星所具有的）．設(shè)地球的質(zhì)量為M，以衛(wèi)星離地無限遠處時的引力勢能為零，則質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在距離地心為r處時的引力勢能為Ep=-

GMm

r

（G為萬有引力常量）．
（1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星所具有的機械能的絕對值恰好等于其動能．
（2）當物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造衛(wèi)星，這個速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示．用R表示地球的半徑，M表示地球的質(zhì)量，G表示萬有引力常量．試寫出第二宇宙速度的表達式．
（3）設(shè)第一宇宙速度為v₁，證明：v2=

2

v1．

Answer 1

分析：（1）人造衛(wèi)星機械能守恒，由萬有引力提供向心力公式，求出關(guān)于速度的表達式，再根據(jù)動能的具體形式進行代換，求出動能，動能加上此時的引力勢能即為機械能，將機械能的絕對值與動能進行比較即可．
（2）第二宇宙速度為衛(wèi)星脫離地球束縛的最小速度，即衛(wèi)星在地表處動能剛好等于此處勢能時便可脫離地球．
（3）當衛(wèi)星繞地球附近做勻速圓周運動時的速度，即為第一宇宙速度，由萬有引力和向心力結(jié)合得到第一宇宙速度，即可得證．

解答：解：（1）設(shè)衛(wèi)星在半徑為r的軌道上做勻速圓周運動的速度為v，地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m．有萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力：G

Mm

r2

=

mv2

r

所以，人造衛(wèi)星的動能：Ek=

1

2

mv2=

1

2

GMm

R

衛(wèi)星在軌道上具有的引力勢能為：Ep=-

GMm

r

所以衛(wèi)星具有的引力勢能為：E=Ek+Ep=

1

2

GMm

r

-

GMm

r

=-

1

2

GMm

r

所以：|E|=|-

1

2

GMm

r

|=

1

2

GMm

r

（2）設(shè)物體在地于表面的速度為v₂，當它脫離地球引力時r→∞，此時速度為零，由機械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 2

-

GMm

R

=0
解得：v2=

2GM R

（3）第一宇宙速度即為繞地球表面運行的速度，故有：G

Mm

R2

=m

v 2 1

R

得：v2=

2

GM R

=

2

v1
答：
（1）證明過程如上所述；
（2）第二宇宙速度的表達式是

2GM R

．
（3）證明過程如上所述．

點評：此題是機械能守恒在天體中的運動問題，要充分利用萬有引力提供向心力的條件，并且選無限遠處為勢能零點時，地球表面處勢能最大，當動能大于或等于地球表面勢能時，衛(wèi)星就能脫離地球的吸引．