Question

4．一傳送帶裝置示意如圖，傳送帶在AB區(qū)域是傾斜的，AB的長度l=4.0m、高度差h=0.8m．工作時傳送帶向上運行的速度保持不變，現將質量均為m=4kg的小貨箱（可視為質點）一個接一個在A處從靜止釋放到傳送帶上，釋放小貨箱的時間間隔均為T=2s．小貨箱一運動到B處就立刻被取走．傳送帶由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦，取g=10m/s²．
（1）當傳送帶運行的速度v=2m/s時，小貨箱從A處運動到B處所用時間t=3s，求貨箱在勻加速運動過程的加速度大�。�
（2）調整傳送帶運行的速度為另一個更小的值，此后傳送帶在正常運送小貨箱的一段相當長的時間內，小貨箱機械能的總增加量與電動機對外做的功之比為17：20，求電動機的平均輸出功率$\overline{P}$．

Answer 1

分析 （1）小貨箱放在A處后可能一直向上做加速運動，有可能是先加速后減速，根據勻加速直線運動位移時間公式即可求解；
（2）傳送帶上總有4個貨箱在運動，說明貨箱在A處釋放后經過t=4T的時間運動至B處．求出勻加速運動的時間，根據牛頓第二定律求出摩擦力，進而求出這段時間內，傳送帶克服該貨箱的摩擦力做的功，貨箱在此后的時間內隨傳送帶做勻速運動，求出傳送帶克服該貨箱的摩擦力做的功，進而求出每運送一個小貨箱電動機對外做的功，根據$\overline{P}=\frac{W}{t}$求出平均功率．

解答 解：（1）設貨箱向上加速的加速度為a，加速的時間為t₁，勻速運動的時間為t₂，則：
t₁+t₂=3s    ①
v=at₁ ②
l=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}+v•{t}_{2}$ ③
聯(lián)立以上方程得：a=1 m/s²，t₁=2s
（2）貨箱在傳送帶上加速運動的過程中，仍然是受到重力、支持力和滑動摩擦力的作用，各個力都沒有發(fā)生變化，所以貨箱的加速度也不變，仍然是1 m/s²，若調整傳送帶運行的速度為另一個更小的值，則貨箱只需要一個更小的時間即可達到與傳送帶速度相等，然后做勻速直線運動．由于傳送帶的速度變小，所以貨箱從A到達B的時間變長，則時間一定是大于3s，可知傳送帶上可能是2個貨箱，有可能是一個貨箱．
由題，傳送帶在正常運送小貨箱的一段相當長的時間內，可以認為有n個貨箱從A運動到B，n個貨箱獲得的機械能與電動機對外做的功之比與一個貨箱獲得的機械能與電動機傳送一個貨箱消耗的電能的比值是相同的．
貨箱加速的過程中相對于傳送帶的位移：${x}_{相對}=v{t}_{1}-\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$   ④
聯(lián)立②④得：${x}_{相對}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}v{t}_{1}$   ⑤
加速的過程中產生的內能：Q=f•x_相對 ⑥
而該過程中貨箱的位移：$x′=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=x_相對  ⑦
貨箱獲得的機械能：△E=f•x′+mgsinθ•（l-x′）
消耗的電能：W=△E+Q
由題意：$\frac{△E}{W}=\frac{17}{20}$
聯(lián)立得：v=1.18m/s，t₁=1.18s，t₂=2.74s，W=37.66J
由題意，每隔2s放一個貨箱，則每一個2s內電動機做的功等于W，所以電動機的電功率：
$\overline{P}=\frac{W}{T}=\frac{37.66}{2}=18.83$W
答：（1）當傳送帶運行的速度v=2m/s時，小貨箱從A處運動到B處所用時間t=3s，貨箱在勻加速運動過程的加速度大小是1 m/s²．
（2）小貨箱機械能的總增加量與電動機對外做的功之比為17：20，電動機的平均輸出功率$\overline{P}$是18.83W．

點評 本題主要考查了勻變速直線運動基本公式及恒力做功公式、平均功率公式的直接應用，要求同學們能正確分析貨箱的運動情況，在計算貨箱勻加速過程的功時，也可以由動能定理去求解，難度適中．