Question

如圖所示，在水平地面上固定一傾角θ=37°的斜面體，物體A以某一初速度從斜面體底端沿斜面向上拋出，在物體A的正上方，有一物體B以某一初速度水平拋出．A、B均可看作質點，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．
（1）若斜面體表面光滑，將A物體以v₁=6m/s的初速度拋出，求物體A上滑到最高點所用的時間t．
（2）在第（1）問條件下，將A、B同時拋出，當A上滑到最高點時恰好被B物體擊中，求物體B拋出時的初速度v₂．
（3）若斜面體表面粗糙且足夠長，物體A與斜面間的動摩擦因數μ=0.5，物體A從最低點以v₃=10m/s的初速度沿斜面向上拋出，B仍以初速度v₂水平拋出，為使B拋出后仍能擊中A，求A、B開始運動時相差的時間間隔 （結果可保留根號）．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律求出物體上滑的加速度，根據速度時間公式求出物體A上滑到最高點所用的時間．
（2）根據速度位移公式求出A上滑的最大位移，從而得出B的水平位移，結合平拋運動水平方向上的運動規(guī)律求出物體B拋出時的初速度．
（3）若A在上滑的過程中與B相遇，根據牛頓第二定律求出A上滑的加速度，結合運動學公式求出時間之差；若A在下滑過程中與B相遇，根據牛頓第二定律求出A下滑的加速度，結合運動學公式求出時間之差．

解答：解：（1）對A，根據牛頓第二定律得，a=

mAgsinθ

mA

=gsin37°=6m/s2．
根據速度時間公式得，t=

v1

a

=

6

6

s=1s．
（2）A上滑的最大位移s=

v12

2a

=

62

2×6

m=3m．
對B：x=scosθ=3×0.8m=2.4m．
則B的初速度：v2=

x

t

=2.4m/s．
（3）A沿斜面上滑：
根據牛頓第二定律得，a1=g(sinθ+μcosθ)=10m/s2．
根據速度位移公式得，v32-v42=2a1s
所以v4=

v32-2a1s

=2

10

m/s．
所以t1=

v3-v4

a1

=

10-2 10

10

s=(1-

10

5

)s．
要使A、B相遇，B可超前A拋出，
超前時間△t1=t-t1=

10

5

s
A從拋出到滑到最高點：t1′=

v3

a1

=

10

10

s=1s．
s1=

v32

2a1

=

102

2×10

m=5m
A從最高點下滑：
a2=g(sinθ-μcosθ)=2m/s2．
s₂=s₁-s=2m
t2′=

2s2 a2

=

2×2 2

s=

2

s．
所以t2=t1′+t2′=(1+

2

)s
要使AB相遇，B可落后A拋出，
落后時間△t2=t2-t=

2

s
答：（1）物體A上滑到最高點所用的時間為1s．
（2）物體B拋出時的初速度為2.4m/s．
（3）A、B開始運動時相差的時間間隔為

10

5

s或

2

s．

點評：解決本題的關鍵理清物體的運動規(guī)律，結合運動學公式靈活求解，注意A、B可能在A上滑的過程中相遇，也可能在A下滑過程中相遇．