Question

（2012?東城區(qū)模擬）如圖所示，光滑水平面上靜止放置著一輛平板車A．車上有兩個(gè)小滑塊B和C（都可視為質(zhì)點(diǎn)），B與車板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，而C與車板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為2μ，開(kāi)始時(shí)B、C分別從車板的左、右兩端同時(shí)以大小相同的初速度v₀相向滑行．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，C、A的速度達(dá)到相等，此時(shí)C和B恰好發(fā)生碰撞．已知C和B發(fā)生碰撞時(shí)兩者的速度立刻互換，A、B、C三者的質(zhì)量都相等，重力加速度為g．設(shè)最大靜摩擦力大小等于滑動(dòng)摩擦力．
（1）求開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到C、A的速度達(dá)到相等時(shí)的時(shí)間；
（2）求平板車平板總長(zhǎng)度；
（3）已知滑塊C最后沒(méi)有脫離平板，求滑塊C最后與車達(dá)到相對(duì)靜止時(shí)處于平板上的位置．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)量定理分別對(duì)C、A研究，求出開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到C、A的速度達(dá)到相等時(shí)的時(shí)間．
（2）由動(dòng)量定理求出C和B發(fā)生碰撞時(shí)B的速度，用平均速度分別求出從開(kāi)始到C、B碰撞的過(guò)程C、B的位移大小，兩者之和等于平板車平板總長(zhǎng)度；
（3）C和B發(fā)生碰撞時(shí)兩者交換速度．根據(jù)牛頓第二定律運(yùn)動(dòng)整體法和隔離法判斷是否相對(duì)靜止．再根據(jù)動(dòng)能定理分別研究C、A的位移，由幾何關(guān)系求出滑塊C在車板上運(yùn)動(dòng)的總位移，確定C最后與車達(dá)到相對(duì)靜止時(shí)處于平板上的位置．

解答：解：
（1）設(shè)A、B、C三個(gè)物體的質(zhì)量都為m，從開(kāi)始到C、A的速度達(dá)到相等的過(guò)程所用時(shí)間為t，C、A相等的速度為v_C，根據(jù)動(dòng)量定理得
 對(duì)C：-2μmgt=mv_C-mv₀
 對(duì)A：（2μmg-μmg）t=mv_C
聯(lián)立解得，t=

v0

3μg

，v_C=

1

3

v0
（2）對(duì)B，由動(dòng)量定理得，
-μmgt=mv_B-mv₀
得到，v_B=

2

3

v0
對(duì)C：xC=

v0+vC

2

t，
對(duì)B：xB=

v0+vB

2

t
平板車平板總長(zhǎng)度L=x_B+x_C
解得，L=

v 2 0

2μg

（3）對(duì)A：x_A=

vAt

2

=

v 2 0

18μg

，A、B、C三者的位移和末速度分別為：xA=

v 2 0

18μg

，方向向左；
 xB=

5 v 2 0

18μg

，方向向右；xC=

2 v 2 0

9μg

，方向向左．
 vA=vC=

1

3

v0，方向向左；vB=

2

3

v0，方向向右．C和B發(fā)生碰撞時(shí)兩者的速度立刻互換，則碰撞后C和B的速度各為：v_C′=

2

3

v0，方向向右，vB′=

1

3

v0，方向向左．
碰撞后B和A的速度相等，設(shè)B和A保持相對(duì)靜止一起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)對(duì)B和A整體有f_C=2μmg=2ma
對(duì)B：B受到的摩擦力為f_B′=ma=μmg，說(shuō)明B和A保持相對(duì)靜止一起運(yùn)動(dòng)．
設(shè)C最后停在車板上時(shí)，共同速度為v，由動(dòng)量守恒定律得
  mv_C′-2mv_B′=2mv
可得，v=0
對(duì)這一過(guò)程，對(duì)C，由動(dòng)能定理得
-2μmgS_C′=0-

1

2

m

v

′2 C

對(duì)B和A整體，由動(dòng)能定理得
-2μmgS_A′=0-

1

2

2m

v

′2 B

解得，C和A的位移分別是
  S_C′=

2 v 2 0

9μg

，向右，S_A′=

v 2 0

18μg

，向左．
則C先相對(duì)于車板向左移動(dòng)x₁=x_C-x_A=

v 2 0

6μg

，后相對(duì)于車板向右移動(dòng)S=S_C′-S_A′=

v 2 0

6μg

，恰好回到原來(lái)的位置，即滑塊C最后停在車板的右端．
答：
（1）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到C、A的速度達(dá)到相等時(shí)的時(shí)間為t=

v0

3μg

；
（2）平板車平板總長(zhǎng)度L=

v 2 0

2μg

；
（3）滑塊C最后停在車板的右端．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律等力學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，要會(huì)選擇解題規(guī)律：涉及力在時(shí)間的累積效果可選用動(dòng)量定理研究．涉及力在空間的累積效果可選用動(dòng)能定理研究．