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設(shè)an=1+++…+(n∈N*),是否存在關(guān)于n的整式g(n），使等式a1+a2+…+an-1=g(n)(an-1)對一切大于1的正整數(shù)n都成立？若存在，求出g(n);若不存在，說明理由.

解：假設(shè)g(n)存在

當n=2時，由a1=g(2)(a2-1)即

1=g(2)×(1+-1),解得g(2)=2.

當n=3時，由a1+a2=g(3)(a3-1)即1+(1+)=g(3)×(1++-1),得g(3)=3.

當n=4時，同樣可得g(4)=4.

由此猜想g(n)=n.(n≥2,n∈N*)

下面用數(shù)學歸納法證明.

當n≥2,n∈N*時，等式a1+a2+a3+…+an-1=n(an-1)恒成立.

當n=2時，a1=1,g(2)(a2-1)=2×=1,結(jié)論成立.

假設(shè)n=k.(k≥2)時結(jié)論成立，則

a1+a2+a3+…+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)·ak-(k+1)+1

=(k+1)(ak+-1)=(k+1)(ak+1-1)

∴n=k+1時結(jié)論成立.

綜上可知，對于大于1的正整數(shù)n,存在g(n)=n,使a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)恒成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)an=
1•2
+
2•3
+…+
n(n+1)
(n=1，2…)，
（1）證明不等式
n(n+1)
2
＜an＜
(n+1)2
2
對所有的正整數(shù)n都成立；
（2）設(shè)bn=
an
n(n+1)
(n=1，2…)，用定義證明
lim
n→∞
bn=
1
2
.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)(an+1)2=
1
10
(an)2，n為正整數(shù)，且知an皆為正．令 bn=logan，則數(shù)列b1，b2，b3，…為
（1）公差為正的等差數(shù)列   
（2）公差為負的等差數(shù)列
（3）公比為正的等比數(shù)列   
（4）公比為負的等比數(shù)列
（5）既非等差亦非等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)an=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)，是否存在整式g（n）使得a1+a2+…+an-1=g（n）•（an-1）對不小于2的一切自然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)an=1+q+q2+q3+…+qn-1，An=cn1a1+cn2a2+cn3a3+…+cnnan，且-3＜q＜1，則
lim
n→∞
An
2n
的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)an=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
用數(shù)學歸納法證明：a1+a2+…+an-1=nan-n，其中n≥2且n∈N*．

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