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 根的定義用處大

許國(guó)泰

    大家知道，

    如果是方程的兩個(gè)根，則有

    反之，若，則是方程

    例1  已知，則一元二次方程一定有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=___________。

    分析  當(dāng)時(shí)，有。根據(jù)方程根的定義，一元二次方程一定有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

    例2  不解方程，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程的兩根的5倍。

    分析  通常情況下，本題可利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解。如果利用根的定義來(lái)解也比較簡(jiǎn)單。

    解  設(shè)a是方程的一個(gè)根，y表示所求方程的一個(gè)根，則

    根據(jù)方程的根的定義，有

    即

    故所求方程為

    例3  已知方程有一個(gè)根是方程的某個(gè)根的2倍，求m的值。

    分析  每個(gè)方程最多有兩個(gè)根，若由“方程(1)的一個(gè)根是方程(2)的某個(gè)根的2倍”及求根公式寫出它們的根，則可組合出4個(gè)關(guān)于m的無(wú)理方程，要求m的值顯然很繁。利用方程根的定義來(lái)解，可以輕松求出m的值。

    解  設(shè)與分別是方程的根。

    由根的定義，得

    例4  已知是方程的兩實(shí)數(shù)根，則________。

    分析  代數(shù)式不是關(guān)于的對(duì)稱多項(xiàng)式，無(wú)法將其化成關(guān)于，的代數(shù)式來(lái)解。由根的定義，知

    所以

    由根與系數(shù)的關(guān)系，知

    所以

    例5  已知一元二次方程的兩根之和為p，兩根的平方和為q，兩根的立方和為r。求ar+bq+cp的值。

    分析  設(shè)的兩個(gè)根，根據(jù)方程根的定義，得

    這時(shí)

   所以ar+bq+cp

    例6  已知的值。

    分析  由

    方程兩邊同時(shí)除以，得

    比較可以看成是方程的根。

    又

   故

    所以

    例7  已知，其中m,n為實(shí)數(shù)，則=_____

    解：由

    （1）當(dāng)

    （2）當(dāng)

    例8  設(shè)t是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則判別式與平方式的大小關(guān)系是___________。

    解  由t是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，得

    所以