2009年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查
數(shù)學(xué)（理科）試題
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁. 全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
參考公式：
樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差：
s=
，其中
為樣本平均數(shù)；
柱體體積公式：V=Sh ，其中S為底面面積，h為高；
錐體體積公式：V=
Sh，其中S為底面面積，h為高；
球的表面積、體積公式：
，
，其中R為球的半徑.
第I卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一
1.
已知復(fù)數(shù)
，則
的共軛復(fù)數(shù)是
A.
B.
C.
D.
2. 正項(xiàng)等比數(shù)列
中，若
，則
等于
A. -16 B. 10 C. 16 D. 256
3. 已知隨機(jī)變量
，若
，則
等于
4. 已知兩個向量a、b滿足a
b =－
，| a |=4，a和b的夾角為135°，則| b
|為
A. 12 B.
3 C. 6 D.
5.
若
，且
, 則實(shí)數(shù)
的值為
Ａ. 1或3 Ｂ. -3 C. 1 Ｄ. 1或 -3
6.
實(shí)數(shù)
、
滿足
則=
的取值范圍是
A.
[－1,0] B.
－∞,0] C.
[－1,+∞
D.
[－1,1
7. 過拋物線
的焦點(diǎn)作直線
交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則
等于
A．10 B．8 C．6 D．4
8. 一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為
，得2分的概率為
，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、
，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，則
的最大值為
A．
B．
C．
D．
9. 設(shè)函數(shù)
則函數(shù)
的零點(diǎn)個數(shù)為
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
10. 如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公方差.設(shè)數(shù)列
是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將
這種順序的排列作為某種密碼，則這種密碼的個數(shù)為
A. 18個 B. 256個 C. 512個 D. 1024個
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題４分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
11.
假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料
使用年限
2
3
4
5
6
維修費(fèi)用
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由資料可知和呈相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程
中的
=
，據(jù)此估計(jì)，使用年限為10年時的維修費(fèi)用是 萬元.
（參考公式：
，
）
12. 已知某算法的流程圖如圖所示，
則輸出的結(jié)果是_______________.
13. 一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖、側(cè)視圖、
俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長都為1，則它的
外接球的表面積是 .
14. 設(shè)函數(shù)
(
)，若
，
，則
=
.
15. 已知集合
,
有下列命題
①若
則
.
②若
則
.
③若
則
的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.
④若
則對于任意不等的實(shí)數(shù)
，總有
成立.
其中所有正確命題的序號是 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16. （本小題滿分13分）
已知
的三個內(nèi)角
、
、
所對的邊分別為
、、
,且
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）當(dāng)
時，求函數(shù)
的最大值.
17.（本小題滿分13分）
如圖，正方形
所在平面與等腰直角三角形
所在平面
互相垂直，
，點(diǎn)
分別為
的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）線段
上是否存在一點(diǎn)
，使
與平面
所成角的正弦值為
？若存在，請求出
的
值；若不存在，請說明理由．
18. （本小題滿分13分）
某電腦生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)一品牌筆記本電腦的投入成本是4500元/臺. 當(dāng)筆記本電腦銷售價(jià)為6000元/臺時，月銷售臺；根據(jù)市場分析的結(jié)果表明，如果筆記本電腦的銷售價(jià)提高的
百分率為
，那么月銷售量減少的百分率為
.記銷售價(jià)提高的百分率為時，
電腦企業(yè)的月利潤是（元）.
（Ⅰ）寫出月利潤（元）與的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）試確定筆記本電腦的銷售價(jià)，使得電腦企業(yè)的月利潤最大.
19.（本小題滿分13分）
|
(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線
.
過
面積的取值范圍.
.
的單調(diào)遞增區(qū)間；
，且
,記數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
，
.
是否仍為數(shù)列
為首項(xiàng)是
,公差
的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列
，使
”.
在矩陣
對應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為
，求矩陣
．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為
參數(shù)），點(diǎn)
是曲線
|的最小值．
滿足
且
的最大值是7，求
14. 
15.
②③
，知
………………………（2分）
，得
， 
，
………………………（5分）
………………………（6分）
，
………………………………（9分）
，
，即
時，
取得最大值為
． ……………（13分）
17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基本知識，考查空間想像能力，運(yùn)算求解能力和推理論證能力.
滿分13分.
解：（Ⅰ）證明：如圖，取
中點(diǎn)
，連結(jié)
，
；
，
∥
，
，
，
，…………（3分）
為平行四邊形，
∥
平面
，
平面
平面
，
，
平面
，
為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系
，可得
、
、
，
.
， 
得
，
．
………………………（9分）
上存在一點(diǎn)
，其中
，則
，
，
，即
，
，解得
（舍去）．
． …………（13分）
）元/臺，月銷售量為
臺……………（2分）
……………………（4分）
． ……………………（6分）
，得
，
舍去）．
……………………（9分）
當(dāng)
時，
取得最大值．
元．
19．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識，考查運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力.
滿分13分
的一個焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距
=1.
，解得
. …（4分）
（Ⅱ）（i）設(shè)直線
：
與
.
，
，
，
. ……………（5分）
，得
，
（
，0），
，即
.
，解得
. 
過定點(diǎn)
……………（10分）
, 令
，得
，當(dāng)
時，
.
上為增函數(shù). 
，
.
.
……………（13分）
，
.
………………（1分）
時，
.
時，由
，得到
，知在
上
時，由
上
時，
遞增區(qū)間為
遞增區(qū)間為
.
………………………………………（4分）
，
，即
，
，即
. ……………………………………（6分）
，
時，
，
時，
，
.
…………………………（8分）
，
，則
與
矛盾，所以
不在數(shù)列
中. ………（9分）
，使
.
為數(shù)列
中不同的兩項(xiàng)，則
.
且
.
是數(shù)列
項(xiàng). ……………………（10分）
，
，（
，
，令
，
，
，令整數(shù)
，所以
則
.令
，
使
，所以
與
相矛盾，所以
，即
，
得
……………………（4分）
，由
得
.
=1
, 
可化為
,
，即
. ……………（2分）
.
……………………（5分）
的最小值為
.
…………………………（７分）
. …………（3分）
，即
. 
的最大值是7,所以
，得
，
時，