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廣東省湛江師范學(xué)院附中2009年高考模擬試題(13)

數(shù)學(xué)

一.選擇題：

1.設(shè)全集,集合,則=

A.        B.         C.         D. 

2.若x,y∈R，為虛數(shù)單位,且,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

A. 第一象限           B.  第二象限        C. 第三象限         D. 第四象限

3.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖，其中主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的

正三角形，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為

   A．         B．      C．      D．

4.首項(xiàng)為的等差數(shù)列,從第項(xiàng)開(kāi)始為正,則公差的取值范圍是

A.           B.            C.        D. 

5.設(shè)雙曲線的兩條漸近線與直線x=圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為D，點(diǎn)

為D內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

    A．-2                B．-         C．0             D．

6.函數(shù)（），對(duì)任意有，且，那么

等于

A．                B．           C．              D．

7.下列命題:①；②；③ ;④“”的充要條件

是“,或”. 中,其中正確命題的個(gè)數(shù)是

A. 0                  B. 1                C. 2                D. 3

8.設(shè)，則關(guān)于的方程在上有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為

A.                  B.                C.                D. 

二.填空題：

9.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值        .

10.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為               ．

11.在△中，所對(duì)的邊分別為，且，則∠的大小為        ．

12.如下圖，給出了一個(gè)程序框圖,其作用是輸入的值,輸出相應(yīng)的的值,若要使輸入的的值與輸出的的值相等,則這樣的的值的集合為            .

選做題: 13～15題，考生只能從中選做兩題　

13.極坐標(biāo)系中，曲線和相交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為        ．

14.已知函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為           ．

15.如圖,AC為⊙O的直徑，弦于點(diǎn)，，，則的值為      .

三.解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16.(13分)設(shè)向量，向量，．

(1)若向量，求的值；

(2)求的最大值及此時(shí)的值．

17(13分)某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的周銷(xiāo)售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:

周銷(xiāo)售量（單位：噸）

2

3

4

頻數(shù)

20

50

30

(1)根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果,求周銷(xiāo)售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率;

(2)已知每噸該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為2千元,表示該種商品兩周銷(xiāo)售利潤(rùn)的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.(12分) 已知函數(shù)

   (1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程及的單調(diào)區(qū)間；

   (2)求函數(shù)f(x)的極值．

19.(14分)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為２，P

是側(cè)棱上任意一點(diǎn)．

(1)求正三棱柱的體積；

(2)判斷直線與平面是否垂直，請(qǐng)證明你

的結(jié)論；

(3)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．  

20.(14分)已知曲線上任一點(diǎn)到直線與點(diǎn)的距離相等．

(1)求曲線的方程；

(2)設(shè)直線與曲線C交于點(diǎn)A,B，問(wèn)在直線上是否存在與無(wú)關(guān)的定

M，使得被直線平分，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

21.(14分)已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)

……，順次為軸上的點(diǎn),其中，對(duì)

于任意，點(diǎn)構(gòu)成以為頂角的等腰三角形, 設(shè)的面積為．

(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

(2)求；（用和的代數(shù)式表示）

(3)設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，判斷與()的大小，并證明你的結(jié)論；

DAAC  BACB    2.由,解得,所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．

3.幾何體為圓錐，母線長(zhǎng)為，底面半徑為，則側(cè)面積為．

4.，解得             5.可行域三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

,將這三點(diǎn)代入即可求得Z的最小值．

6.由得：，即1是的周期，而為奇函數(shù)，則

7.僅②③正確，③是“或”; ④的充要條件是且. 

8.由，即，再通過(guò)畫(huà)圖，利用積分求出合乎條件的區(qū)域面積為，而所有可能的區(qū)域面積為1，由幾何概型的概率為其面積的比值即可得出．

題號(hào)

9

10

11

12

13

14

15

答案

9.因?yàn)?sub>，則，而,所以.10.由楊輝三角或二項(xiàng)展開(kāi)式即得結(jié)論.

11.由正弦定理得：，而，兩式相乘得，從而

12.依題意得,或,或,解得,或,.

13.將其化為直角坐標(biāo)方程為，和，代入得：

則

14．由題設(shè) 對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立，由于，則

15.由射影定理得,，

則cos∠ACB=sin∠A＝sin∠D=.

16.解:(1)由于，則，   ………………3分

顯然，兩邊同時(shí)除以得，；    ……………6分

（2）由于，   ………………8分

即，                

∴    ………………10分

由于，則，        ………………11分

則，即時(shí)，最大值為．  ………………13分

說(shuō)明：本題第（1）問(wèn)可以利用解析幾何兩直線垂直的條件求出，第（2）問(wèn)可以結(jié)合平面幾何知識(shí)得出．

17. 解：（1）周銷(xiāo)售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3.  ……3分

（2）的可能值為8，10，12，14，16，               ……4分

P（=8）=0.2²=0.04,    P（=10）=2×0.2×0.5=0.2,     ……6分

P（=12）=0.5²+2×0.2×0.3=0.37,   P（=14）=2×0.5×0.3=0.3,  

P（=16）=0.3²=0.09.                             ……9分

8

10

12

14

16

0.04

0.2

0.37

0.3

0.09

則的分布列為

……11分

=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）  ……13分

說(shuō)明：第（1）問(wèn)每個(gè)頻率1分，第（2）問(wèn)一種情況的概率1分，分布列正確2分，期望2分．

18.解：（1）當(dāng)a = -1時(shí)，     ……1分∴

函數(shù)在點(diǎn)x = 1處的切線方程為y－1= 3（x－1），即y =3x -2      ……3分

當(dāng) 時(shí)，，∴函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，

而的定義域?yàn)?sub>，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，不存在遞減區(qū)間．…5分

（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），，……6分

①當(dāng)時(shí)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；函數(shù)無(wú)極值……8分

②當(dāng)時(shí)，由，得，            ……9分

由，                     ……10分

∴當(dāng)時(shí)，有極小值   ……11分

綜上，當(dāng)時(shí)，f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有極小值，無(wú)極大值 …12分

19.（1）     ……3分

（2）建立如圖空間坐標(biāo)系，設(shè)，   ……4分

則的坐標(biāo)分別為       ……6分

∴，

∴不垂直

∴直線不可能與平面垂直 ……8分

（3），由，得

即　

又　

∴是面的法向量    …10分

設(shè)面的法向量為，

由得    ……12分                                         

設(shè)二面角的大小為，則

∴二面角的余弦值大小為           ……14分

說(shuō)明：有些結(jié)果由于法向量的方向問(wèn)題，出現(xiàn)余弦值為負(fù)值者扣1分．

20.解：依題意，曲線為拋物線，且點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線， 2分

則拋物線形式為，由，得 ，     ……4分

則曲線的方程為．             ……6分

（2）設(shè)，，假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則 ……8分

即，

即       ①     ……9分

而， ，                    ②

整理得               

即為：      ③    ……11分

由得：，

則，，    ④                  ……12分

將④代入③得：，即．  ……13分

因此，存在點(diǎn)滿足題意．                                        ……14分

21. 解：（1）由于點(diǎn)在直線上，

則，     ……1分    因此，所以數(shù)列是等差數(shù)列   ……2分

（2）由已知有，那么                 ……3分

同理以上兩式相減，得，       ……4分                                                                                          

∴成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列，                 

∴，                          ……5分

         ……6分

點(diǎn)，則，，

而∴  ……8分

（3）由(1)得:，    ……9分

則   

而，則，               ……11分

即                                

∴

∴ 

∴                    ……12分

由于 ，而,

則, 從而  ,      ……13分  

同理:

……

以上個(gè)不等式相加得：

即，從而         …14分

說(shuō)明：（1）也可由數(shù)學(xué)歸納法證明  ；

（2）本題也可以求出的通項(xiàng)公式，由兩邊同時(shí)除以，

令，則

利用錯(cuò)位相減法可求出：

則，

則，時(shí)，也符合上式，

則對(duì)任意正整數(shù)都成立．

下同上述解法