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解析幾何的主要內容是高二中的直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程考查的重點：直線的傾斜角與斜率、點到直線的距離、兩條直線平行與垂直關系的判定、直線和圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關系；圓錐曲線的定義、標準方程、簡單的幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、曲線與方程、圓錐曲線的簡單應用等，其中以直線與圓錐曲線的位置關系最為重要。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

解析幾何是高中數(shù)學的重要內容之一，各地區(qū)在這一部分的出題情況較為相似，一般兩道小題一道大題，分值約占15%，即22分左右.具體分配為：直線和圓以及圓錐曲線的基礎知識兩個容易或中檔小題，機動靈活，考查雙基；解答題難度設置在中等或以上，一般都有較高的區(qū)分度，主要考查解析幾何的本質――“幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結果幾何化”以及分析問題解決問題的能力.

1.直線的基本問題：直線的方程幾種形式、直線的斜率、兩條直線平行與垂直的條件、兩直線交點、點到直線的距離。

例  1   已知與，若兩直線平行，則的值為 ．

解析： ．

點評：解決兩直線平行問題時要記住看看是不是重合．

易錯指導：不知道兩直線平行的條件、不注意檢驗兩直線是否重合是本題容易出錯的地方。

例2 （08年高考廣東卷文6理11）經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是           ．

解析：圓心坐標是，所求直線的斜率是，故所求的直線方程是，即。

點評：本題考查解析幾何初步的基本知識，涉及到求一般方程下的圓心坐標，兩直線垂直的條件，直線的點斜式方程，題目簡單，但交匯性很強，非常符合在知識網(wǎng)絡的交匯處設計試題的命題原則，一個小題就把解析幾何初步中直線和圓的基本知識考查的淋漓盡致。

易錯指導：基礎知識不牢固，如把圓心坐標求錯，不知道兩直線垂直的條件，或是運算變形不細心，都可能導致得出錯誤的結果。

2.圓的基本問題：圓的標準方程和一般方程、兩圓位置關系.

例3 （08高考山東卷理11）已知圓的方程為．設該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（    ）

A．       B．       C．       D．

解析：圓心坐標是，半徑是，圓心到點的距離為，根據(jù)題意最短弦和最長弦（即圓的直徑）垂直，故最短弦的長為，所以四邊形的面積為。

點評：本題考查圓、平面圖形的面積等基礎知識，考查邏輯推理、運算求解等能力。解題的關鍵有二，一是通過推理知道兩條弦互相垂直并且有一條為圓的直徑，二是能根據(jù)根據(jù)面積分割的道理，推出這個四邊形的面積就是兩條對角線之積的一半。本題是一道以分析問題解決問題的能力立意設計的試題。

易錯指導：邏輯思維能力欠缺，不能找到解題的關鍵點，或是運算能力欠缺，運算失誤，是本題不能解答或解答錯誤的主要原因。

3.圓錐曲線的基本問題：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程及其性質，求簡單的曲線方程.

例4（08年高考海南寧夏卷理11）已知點P在拋物線y² = 4x上，那么點P到點Q（2，－1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（    ）

A. （，－1）          B. （，1）        C. （1，2）         D. （1，－2）

解析：定點在拋物線內部，由拋物線的定義，動點到拋物線焦點的距離等于它到準線的距離，問題轉化為當點到點和拋物線的準線距離之和最小時，求點的坐標，顯然點是直線和拋物線的交點，解得這個點的坐標是。

點評：本題考查拋物線的定義和數(shù)形結合解決問題的思想方法。類似的題目在過去的高考中比較常見。

易錯指導：不能通過草圖和簡單的計算確定點和拋物線的位置關系，不能將拋物線上的點到焦點的距離轉化為其到準線的距離，是解錯本題或不能解答本題的原因。

例5（08年高考山東卷文13）已知圓．以圓與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為           ．

解析：  圓和軸的交點是，和軸沒有交點。故只能是點為雙曲線的一個頂點，即；點為雙曲線的一個焦點，即。，所以所求雙曲線的標準方程為。

點評：本題考查圓和雙曲線的基礎知識，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想。解題的關鍵是確定所求雙曲線的焦點和頂點坐標。

易錯指導：數(shù)形結合的思想意識薄弱，求錯圓與坐標軸的交點坐標，用錯雙曲線中的關系等，是不同出錯的主要問題。

4.直線與圓錐曲線的位置關系

例6（08年高考山東卷文11）若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標準方程是（    ）

A．    B．

C．          D．

解析：設圓心坐標為，則且.又，故，由得（圓心在第一象限、舍去）或，故所求圓的標準方程是。

點評：本題考查直線和圓的有關基礎知識，考查坐標法的思想，考查運算能力。解題的關鍵是圓心坐標。

易錯指導：不能把直線與圓相切的幾何條件通過坐標的思想轉化為代數(shù)條件，或是運算求解失誤等。

例7 （2008年海南寧夏卷理14）過雙曲線的右頂點為A，右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為______________

解析：雙曲線右頂點，右焦點，雙曲線一條漸近線的斜率是，直線的方程是，與雙曲線方程聯(lián)立解得點的縱坐標為，故△AFB的面積為。

點評：本題考查雙曲線的基礎知識和運算能力。

易錯指導：過右焦點和漸近線平行的直線和雙曲線只有一個交點，如果寫錯漸近線的方程，就會解出兩個交點，不但增加了運算量，還使結果錯誤。

例8 （08年高考江蘇12） 在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑的圓做圓，若過點，所作圓的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為     ▲    

解析：過點作圓的兩切線互相垂直，如圖，這說明四邊形是一個正方形，即圓心到點的距離等于圓的半徑的倍，即，故。

點評：本題把橢圓方程、圓和圓的切線結合起來，考查橢圓的簡單幾何性質，體現(xiàn)了“在知識的網(wǎng)絡交匯處設計試題”的原則，較全面地考查了解析幾何的基本知識。解題的突破口是將圓的兩條切線互相垂直轉化為一個數(shù)量上的關系。

易錯指導：陷入圓的兩條切線互相垂直，不能通過數(shù)形結合的方法找到解題途徑等，是考生解錯本題的主要原因。

例9（08年高考廣東卷理18文20）設，橢圓方程為，

拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，

與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

解析：（1）由得，

當得，G點的坐標為，，，

過點G的切線方程為即，

令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，

即，

即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個。

若以為直角，設點坐標為，

、兩點的坐標分別為和，

。

關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。

點評：本題考查橢圓和拋物線方程的求法、拋物線的切線方程的求法、存在性問題的解決方法、分析問題解決問題的能力，是一道幾乎網(wǎng)羅了平面解析幾何的所有知識點并且和導數(shù)的應用交匯在一起的綜合性試題，是一道“在知識網(wǎng)絡的交匯處”設計的典型試題。

易錯指導：本題把拋物線和橢圓結合在一起，題目的條件里還有兩條直線，考生在心理上畏懼，可能出現(xiàn)的問題是思維混亂，理不清題目中錯綜復雜的關系，找不到正確的解題思路；在解決第二問時缺乏分類討論的思想意識產生漏解等

四 掃雷先鋒

易錯點一、考慮不全面

例1 過（0，2）作直線，使與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有幾條？

錯解：設直線的方程為y＝kx＋2，與聯(lián)立，整理得

因為與拋物線僅有一個公共點，所以，解得

此時的方程為   所以這樣的直線有一條。

剖析：（1）問題之一，錯解忽視了對斜率不存在這一情況的考慮，事實上，直線方程為x＝0時，是符合條件的。（2）問題之二，得到方程后，方程不一定是一元二次方程。如果不是一元二次方程，當然就沒有什么判別式了，故需按k＝0及兩種情況考慮。

正解：當直線的斜率存在時，設直線的方程為y＝kx＋2，與聯(lián)立，整理得

（1）k＝0時，方程只有一個解y＝2，故為直線y＝2時與拋物線只有一個公共點，滿足條件；

（2）時，因為與拋物線僅有一個公共點，所以，解得解得

此時的方程為

當直線的斜率不存在時，直線x＝0與拋物線只有一個公共點，滿足條件。

綜上，符合條件的直線有三條：x＝0，y＝2，

點評：忽視含參數(shù)系數(shù)的討論，以及設直線方程（為點斜式、斜截式、截距式等時，忽視對引入的參數(shù)（如斜率、截距等）的特殊情況的考慮是同學們在做題中的常見錯誤，一定要注意。

易錯點二：變形不等價

例2 直線與曲線有且僅有一個公共點，則的取值范圍是   （  ）

A．          B．或   C．   D．

錯解：聯(lián)立方程組，消去得，因為直線與曲線有且僅有一個公共點，所以方程只有一解，所以,解得，所以選A.

剖析：本題中曲線并不是一個完整的圓而是半個圓（右半圓），而時，直線與曲線有且僅有一個公共點，并不能保證直線與右半圓也只有一個公共點。

正解：作出曲線的圖形，如圖所示：

由圖形可得，當直線在和之間變化時，滿足題意，同時，當直線在的位置時也同時滿足題意，所以應選（B）。

點評：曲線的表達式本身限制了的取值只是非負值，所以曲線只是圓的右半部分。若用代數(shù)方法處理，應是方程組化為關于的方程后只有一個非負解，相比之下數(shù)形結合更簡捷明快。

五 規(guī)律總結

1．兩直線的位置關系注意用斜率，平行或垂直關系可以用(要討論斜率不存在、斜率為0的情況)或用(其中O是坐標原點，)．

２．直線與圓錐曲線位置關系：用聯(lián)立法，聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，消去 y (或x)，得到方程(或)，然后用判別式，判定直線與圓錐曲線相交(若是雙曲線或拋物線，要討論的系數(shù)為0的情況，此時直線與雙曲線或拋物線也是相交，只有一個交點)，用判定直線與圓錐曲線相切，用判定直線與圓錐曲線相離；

３．弦長問題的處理：設出弦所在的直線方程，用聯(lián)立法，聯(lián)立弦所在直線方程與圓錐曲線方程，消去 y (或x)，得到一個一元二次方程(或)，根據(jù)需要，用判別式，設弦端點為，則弦長(或)(其中k為弦所在直線的斜率)．

４．過圓錐曲線焦點的弦長問題注意用圓錐曲線的定義做題．如拋物線，過焦點弦端點為，則由拋物線定義，知．

５．點差法．涉及弦中點，弦所在直線的斜率問題，用點差法．一旦涉及弦長問題，仍是用聯(lián)立法簡單些．

６．涉及直線與圓錐曲線交點的坐標運算問題，在聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程后，得到一個一元二次方程(若是雙曲線或拋物線，要討論的系數(shù)為0的情況)，設出交點坐標，把坐標運算配湊成，利用韋達定理，整體運算，運算中注意設而不求思想運用，設出的點的坐標，只是起到過渡作用，并不具體求出，而是整體運算，直指目標．

７．涉及圓錐曲線焦點問題，應首先考慮用圓錐曲線的定義解題．

８．求軌跡方程的主要方法有：直接法、定義法、坐標代入法、變量代換法、交軌法等．

六 能力突破

例1    設橢圓的離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點(　)

Ａ．必在圓內         Ｂ．必在圓上

Ｃ．必在圓外         Ｄ．以上三種情形都有可能

分析：從與2的關系入手，用含有a、b的式子表示進而與已知條件聯(lián)系上

解：

，所以必在圓內，選A.

反思：本題綜合了橢圓，一元二次方程，圓等知識，體現(xiàn)了在知識交匯處命題的思想，結合點新穎，題目給人清新微風撲面之感．解題的關鍵是用分析法，從結論出發(fā)，以點與圓位置關系判定方法，想到配湊韋達定理，巧妙利用一元二次方程根與系數(shù)關系，由a、b、c 的幾何意義，繞回到橢圓離心率上，使點與圓的位置關系、一元二次方程的根、橢圓性質等聯(lián)系在一起．

例2  如圖，直線與橢圓交于兩點，記的面積為．

(Ⅰ)求在，的條件下，的最大值；

(Ⅱ)當，時，求直線的方程．

分析：由三角形面積公式，分析出要求的量，然后聯(lián)立直線和橢圓的方程，設而不求，盡量整體運算，分別運用均值不等式，叛別式法、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式綜合解題．

解：(Ⅰ)設點的坐標為，點的坐標為，

由，解得，      

所以．當且僅當時，取最大值．

(Ⅱ)由得，，

．   ②

設到的距離為，則，

又因為，所以，代入②式并整理，得，

解得，，代入①式檢驗，，故直線的方程是

或或，或．

反思：本題考查知識的同時，也考查了解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．其中模塊化運算要認真學習借鑒，如聯(lián)立直線和橢圓方程――得到一個一元二次方程――運用判別式判定方程解的個數(shù)――弦長公式結合韋達定理，設而不求，整體運算求解．

例3    已知圓O：x²+y²=4，直線m：，(1)求證直線m與圓O有兩個相異交點；(2)設直線m與圓O的兩個交點為A、B，求△AOB面積S_△AOB的最大值．

分析：第一問只需判斷直線過定點(0，1)，且這個定點在圓內，第二問要用向量方法判斷的取值范圍，以S_△AOB=求出三角形面積的最大值．

解：(1)直線m：y=kx+1恒過點(0，1)，而(0，1)在圓x²+y²=4內部，所以直線m與圓O恒有兩個不同交點．

(2)，解得，設，

所以，，

，

所以，當k=0時，最大值為，所以，

，

所以，

所以S_△AOB=，

所以△AOB面積S_△AOB的最大值為．

反思：第一問考查過定點的直線系及點在圓內的判斷方法，第二問考查以向量為工具，解決三角形面積問題，在運算方面仍然考查設而不求，運用用韋達定理整體運算．

 ①直線方程中含有參數(shù)時，要先考慮直線是否過定點，或是否是平行直線系．②直線和圓的題目要盡量使用數(shù)形結合思想解題，以簡化運算．本題第(2)問也可以不用向量的方法，運用三角形余弦定理，得到(圓O半徑為r=4)，當AB垂直于y軸時，弦長|AB|取最小值；當AB是圓的直徑時， |AB|取最大值．所以，所以，以下同上解法．

七 高考風向標

考查方向一：填空選擇題由過去的單一考查概念與定義、基本元素與基本關系逐漸轉向突出考查數(shù)學思想方法，在“知識網(wǎng)絡交匯點”命題.解決這類問題的關鍵在于對知識掌握的基礎性、全面性和熟練性.

例1 過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，則的面積為         ．

解析：該橢圓的右焦點的坐標是，該直線方程是，代入橢圓方程得．設，則的面積等于

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查解析幾何的基本思想方法．解題的關鍵是設而不求的整體思想．若對解析幾何中“設而不求”的整體思想認識模糊，則會陷入復雜的運算導致錯誤.

例2設橢圓的離心率為，焦點在軸上且長軸長為26．若曲線上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線的標準方程為（    ）

A．      B．    C．        D．

解析：由已知得在橢圓中，由此知道在雙曲線中的，故雙曲線中的，雙曲線方程為。

點評：本題考查橢圓和雙曲線的基礎知識，考查分析問題的能力。注意不要把把橢圓的長軸長誤以為是橢圓中的，混淆橢圓和雙曲線中的的關系。

考查方向二：解答題綜合向量的有關知識，與數(shù)列、函數(shù)、不等式等內容結合求圓錐曲線的方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系.另外，存在性和最值、定值、參數(shù)范圍問題也是圓錐曲線的常考形式.解決這類問題的關鍵在于數(shù)學思想方法的運用，比如數(shù)形結合、分類討論、設而不求、點差法等.

例3如圖，設拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為．

（Ⅰ）求證：三點的橫坐標成等差數(shù)列；

（Ⅱ）已知當點的坐標為時，．求此時拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中，點滿足（為坐標原點）．若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由．

解析：（Ⅰ）證明：由題意設．

由得，得，所以，．

因此直線的方程為，直線的方程為．

所以，①   ．②

由①減②得，因此，即．所以三點的橫坐標成等差數(shù)列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當時，將其代入①、②并整理得：

，，所以是方程的兩根，

因此，，又，所以．

由弦長公式得．

又，所以或，因此所求拋物線方程為或．

（Ⅲ）解：設，由題意得，則的中點坐標為，設直線的方程為，

由點在直線上，并注意到點也在直線上，代入得．

若在拋物線上，則，因此或．

即或．

（1）當時，則，此時，點適合題意．

（2）當，對于，此時，，

又，，所以，即，矛盾．

對于，因為，此時直線平行于軸， 又，

所以直線與直線不垂直，與題設矛盾，所以時，不存在符合題意的點．

綜上所述，僅存在一點適合題意．

點評：本題考查導數(shù)、拋物線、等差數(shù)列、直線被曲線所截得的線段的長、平面向量的加法等基礎知識，考查坐標法、方程、分類討論、反證等基本思想方法，考查邏輯推理、運算求解的能力，考查分析問題解決問題的能力，是一道以最基本的知識為依托全面考察考生的綜合數(shù)學素養(yǎng)的能力型試題。本題的第一問就需要考生有“設而不求”的坐標法思想以及方程的思想才能順利解決，實際上第一問中的是方程的兩個不等實根，如果有這個思想就為第二問的解決打下了良好的基礎；第二問的關鍵點是如何用去表示弦長公式中的，在圓錐曲線中弦所在直線的斜率都可以用它們的中點坐標來表達，特別對拋物線，，而本題第一問所證明的正是點和弦的中點具有相同的橫坐標，這樣就找到了解題的突破口；第三問更是集中體現(xiàn)了方程思想和坐標法思想在解決問題中的作用，解決的關鍵是根據(jù)兩個點關于關于一條直線對稱所滿足的兩個條件（兩點連線和對稱軸垂直，兩點的中點在對稱軸上），進行推理論證。

例3已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點．

（1）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．

解析：（Ⅰ）由題意得 又，解得，．因此所求橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）（1）假設所在的直線斜率存在且不為零，設所在直線方程為，

．

解方程組得，，

所以．

設，由題意知，所以，即，

因為是的垂直平分線，所以直線的方程為，即，

因此，又，所以，

故．

又當或不存在時，上式仍然成立．

綜上所述，的軌跡方程為．

（2）當存在且時，由（1）得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，當且僅當時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是．

當，．

當不存在時，．

綜上所述，的面積的最小值為．

解法二：因為，

又，，

當且僅當時等號成立，即時等號成立，

此時面積的最小值是．

當，．

當不存在時，．

綜上所述，的面積的最小值為．

點評：本題考查直線與圓的基礎知識，考查待定系數(shù)法、參數(shù)法求曲線方程的方法，考查函數(shù)與方程、分類討論的思想，考查分析問題解決問題的能力，是一道以解析幾何知識為依托，全面考查數(shù)學思想方法，全面考查考生的綜合數(shù)學素養(yǎng)的能力型試題。題目的入口是求出常數(shù)的值，這個入口就很容易把許多考生拒之門外，曲線的形狀并不是對所有考生都熟悉的；在接下來的第二問的兩個設問中，第一個是用參數(shù)法求曲線方程，第二個是一個最值問題，這兩個都不是考生所能輕易解決的。

八、沙場點兵

1.過點的直線l經(jīng)過圓的圓心，則直線l的傾斜角大小為（    ）

    A．150°            B．120°           C．30°             D．60°

2.（08重慶卷3)圓O₁:和圓O₂: 的位置關系是（    ）

A.相離      B.相交     C.外切      D.內切 

3.方程對應的曲線是（    ）