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湖北省天門六校2009屆高三第四次聯考

數學理科 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。

第Ⅰ卷（選擇題 共50分）

一.選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1.f(x) =cos4x+sin4x的最小正周期是（    ）

   A .            B.          C.         D.

2.已知，且a+b=1，則下列不等式中，正確的是（    ）

A．                                               B．        

C．                              D．

3．設、是非零向量，的圖象是一條直線，則必有（    ）

       A．                B．                 C．            D．

4.從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是[3b2，4b2]，則這一橢圓離心率e的取值范圍是（    ）

A．      　　　　　　　　　　　　　B． 

C．      　　　　　　　　　　　　　D．

5.已知{}是等差數列,, ,則過點， 

    • 
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    20070324
    A．4        
     B．        
     C．－4                 D．－
    6.已知AB是橢圓=1的長軸，若把線段AB五等份，過每個分點作AB的垂線，分別與橢圓的上半部分相交于C、D、E、G四點，設F是橢圓的左焦點，則的值是（   ）
    A．15                  B．16                   C．18                   D．20
    7.設是函數的反函數，則成立的的取值范圍是
      A．   
                                              B．          
    C．                                         　D． 
    8.在坐標平面內,與點A（1，2）的距離為1，且與點B（5，5）的距離為d的直線共有4條，則d的取值范圍是
    A．0＜d＜4  　　　　　　　　　　  B.d≥4    　　  
    C.4＜d＜6  　　　　　　　　　　　 D.以上結果都不對
    9.已知，滿足且目標函數的最大值為7，最小值為１，則
    �。ā　。粒�-２；　　　　　Ｂ．２；　　�。茫�；　　　 Ｄ．-１；
    10．給出定義：若（其中m為整數），則m 叫做離實數x最近的整數，記作= m. 在此基礎上給出下列關于函數的四個命題：     
    ①函數y=的定義域為R，值域為；
    ②函數y=的圖像關于直線（）對稱；
    ③函數y=是周期函數，最小正周期為1；
    ④函數y=在上是增函數。
    其中正確的命題的序號是(    ）
    A. ①  
　　　　  B.　②③  　　　  C ①②③ 　　　　  D ①④
     
    第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
     
    二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在答題卡相應位置上。
    11．已知是拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形平面區(qū)域內（含邊界）的任意一點，則的最大值為           

    

    試題詳情
    

    12．奇函數的反函數是，若，則的值是         

    

    試題詳情
    

    13．在算式“9×△+1×□=48”中的△，□中，分別填入兩個正整數，使它們的倒數和最小，則這兩個數構成的數對為（△，□）應為
               。
    

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    14.對任意兩個集合M、N，定義：，，設，，則      
________________。
    

    試題詳情
    

    15已知函數f (x)=－log2x正實數a、b、c成公差為正數的等差數列，且滿足
    f (a) f (b)f (c)<0,若實數d是方程f (x)=0的一個解，那么下列四個判斷：
    ① d<a;  ②d>b;  ③d<c;  ④d>c中有可能成立的為              
      （填序號）
     
    

    試題詳情
    

    三．解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
    16.(本小題12分)已知中，，，，
    

    試題詳情
    

    記，（1）求關于的表達式；（2）求的值域；
    

    試題詳情
    

    


    
 
    
  
 
    
 
    
  
  
 
    

    

 
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    17．(本小題滿分12分)已知數列的首項為，前項和為，且點在直線上，為常數，。  
    
（1）求數列的通項公式；
    
（2）當，且是S中的一個最大項，試求的取值范圍。
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    18.(本小題12分)已知, ，，.
    

    試題詳情
    

    （1）當時，求使不等式成立的x的取值范圍；
    

    試題詳情
    

    （2）求使不等式成立的x的取值范圍.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    19.(本小題12分)為貫徹落實黨的十七大精神,加快新農村建設步伐,某鎮(zhèn)政府投資c萬元生產甲乙兩種商品,據測算,投資甲商品x萬元,可獲得利潤P=x萬元,投資乙商品x萬元可獲得利潤Q=40萬元，如果鎮(zhèn)政府聘請你當投資顧問，試問對甲乙兩種商品的資金投入分別是多少萬元？才能獲得最大利潤,獲得最大利潤是多少萬元？
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    20.(本小題13分)
橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e
= ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．
    

    試題詳情
    

    （1）求橢圓方程；   （2）若，求m的取值范圍．
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    21.(本小題14分)設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足”
    

    試題詳情
    

    (1)判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；
    

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    (2)若集合M中的元素具有下面的性質：“若的定義域為D，則對于任意，都存在，使得等式成立”
    

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    試用這一性質證明：方程只有一個實數根；
    

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    (3)設是方程的實數根，求證：對于定義域中的任意的，當且時，
     
    

    試題詳情
    

    一．BCAAC      DAAAC
     
    二．11．5　 12.０　１３.（４，１２）１４.［－３，０）∪（３，＋∞）�。保耽佗冖�
    三.１６解：（1）由正弦定理有：；。。。。。（２分）
    　　　　∴，；。。。。。。。。。。。。。（４分）
    ∴
    　　                        。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（７分）
    （2）由；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（８分）
    ∴；。。。。。。。。（１０分）∴。。。。。。。。。。。。。（１２分）
     
    １７。解：（Ⅰ）由題意可知    數列是等差數列  ………（2分）
    ，
    當時，
    兩式相減，得     
………………………（4分）
    時也成立 
    ∴的通項公式為：     ………………………………（6分）
    （Ⅱ）由前項和公式得
    當時，………………………………………（８分）
    ∵最大， 則有 ，解得 …………………………….（１２分）
    １８。解：（Ⅰ）當時，，.
            
.
……………………………………… 2分
            
∵ ,
    ∴     解得 或.
    ∴ 當時，使不等式成立的x的取值范圍是
    .…………………………………………… 5分
          （Ⅱ）∵ ,…… 8分
               
∴ 當m<0時,；
                  
當m=0時, ；
                  
當時，；
                  
當m＝1時，；
                  
當m>1時，. 
.............................................12
    １9。解：設對甲廠投入x萬元（0≤x≤c）,則對乙廠投入為c―x萬元．所得利潤為
    y=x+40（0≤x≤c） ……………………（3分）
    令=t（0≤t≤）,則x=c－t2 
    ∴y=f（t）=－t2+40t+c=－（t―20）2+c+400……………………（6分）
    當≥20,即c≥400時,則t=20, 即x=c―400時, ymax =c+400… （8分）
    當0<<20,
即0<c<400時,則t=,即x=0時,ymax=40 ．…（10分）
    答：若政府投資c不少于400萬元時,應對甲投入c―400萬元, 乙對投入400萬元,可獲得最大利潤c+400萬元．政府投資c小于400萬元時,應對甲不投入,的把全部資金c都投入乙商品可獲得最大利潤40萬元．…（12分）
    20。解：（1）設C：＋＝1（a>b>0），設c>0，c2＝a2－b2，由條件知a-c＝，＝，
    ∴a＝1，b＝c＝，
    故C的方程為：y2＋＝1　     ………………………………………(5分)
    （2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，
    ∴λ＋1＝4，λ＝3　           
………………………………………………(7分)
    設l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）
     得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
    Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0
（*）
    x1＋x2＝， x1x2＝　  ………………………………………………(9分)
    ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
    消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
    整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　  ………………………………………………(11)分
     
    m2＝時，上式不成立；m2≠時，k2＝，                                   
    因λ＝3
∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1
    容易驗證k2>2m2－2成立，所以（*）成立
    即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）     ………………………(13分)
    21. 解：(Ⅰ)易知0是f(x)－x=0的根………………………（1分）
                               0＜≤(x)=+sinx≤＜1………..（3分）
                ∴f(x)∈M…………………………………………………（4分）
     
    Ⅱ)假設存在兩個實根，則，不妨設，由題知存在實數，使得成立。∵，且，∴
    與已知矛盾，所以方程只有一個實數根……………………（8分）
    (Ⅲ) 不妨設，∵，∴為增函數，∴，又∵∴函數為減函數，∴，………………….（10分）
    ∴，即，……..（12分）
    ∴….（14分）