甘肅省天水一中2009屆高三第一學期期末考試數學試題（理）
命題：王開祥 校對：王亞平 審核：高玲玲
考生注意：
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分. 考試時間120分鐘.
第I卷
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨立，那么P（A?B）=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么
n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率
Pn(k)=C
Pk(1－P)n－k
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若集合
，則
= （
）
A．[－1，0] B．[0, 
） C．
D．
2．下列函數中周期為2的是 （ ）
A．y = 2
B．y = sin2
x + cos2x
C．y = tan (
) D．y = sin xcos x
3．函數
的圖像大致形狀是 （ ）
4．已知等比數列
的公比
，其前
項和為
，則
的值為 （
）
A．0 B．
C．1 D．2
5．函數
圖象的一條對稱軸方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6. 若命題P: 
，命題Q: 
,則P是Q的
（
）
A．充分非必要條件 B.必要非充分條件
C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件
7．設m、n是不同的直線，
是不同的平面，有以下四個命題
①
②
③
④
其中為真命題的是 （ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
8．若
，且
，則下列不等式中恒成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9、數列的通項公式為
= 
,若前n項和為10, 則項數為： （ ）
A.11
B
10．將圓
平移后，恰好與直線
相切，則實數b的值為 （ ）
A．
B．－ C.
D．－
11.如圖，正四棱柱
中，
，
則異面直線
所成角的余弦值為（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如果橢圓
上存在一點P，使點P到左準線的距離與它到右焦點的距離相等，那么橢圓的離心率的范圍是 ( )
A 
B 
C 
D 
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．已知
，且
，∠AOB=60°，則
=__
與
的夾角為___
14．實數
的最大值為___
15．三角形
的值為_____.
16．設
函數
有最大值, 則不等式
的
解集為_______．
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．（本大題共10分）設函數
成立的x的取值范圍.
18.（本小題滿分12分）已知角
為
的三個內角，其對邊分別為
，若向量
，
，
，且
．
（1）若的面積
，求bc的值．
（2）求
的取值范圍．
19、（本小題滿分12分）某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為，且各次射擊的結果互不影響。
（1）求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率（用數字作答）；
（2）求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率（用數字作答）；
20．（本題滿分12分） 已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的單調區(qū)間及其極值;
（Ⅱ）證明：對一切
，都有
成立.
21．（本小題滿分12分）數列的各項均為正數，
為其前項和，對于任意
，總有
．
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ) 設正數數列
滿足
.求數列中的最大項；
(Ⅲ) 求證：
．
22．（本小題滿分12分）已知直線
與拋物線
相切于點P（2，1），且與
軸交于點A，定點B的坐標為（2，0）。
（I）若動點M滿足
，求點M的軌跡C；
（II）若過點B的直線
（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求
與
面積之比的取值范圍。
天水一中2006級2008――2009學年第一學期期末考試題
一、BCBBA BCDCB DB
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13
14 ..4 15. 
16. （2，3）
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17. （本大題共10分）
解：由于y=2x是增函數，
等價于
. ①………………………………… 2分
(i) 當x≥1時，|x+1|－|(x－1)|=2.…………………………………… 5分
∴①式恒成立.
(ii) 當－1<x<1時，|x+1|－|x－1|=2x，
①式化為
即
………………………………… 8分
(iii)當x≤－1時，|x+1|－|x－1|=－2,
①式無解.
綜上， x取值范圍是
.……………………………… 10分
18. （本小題滿分12分）
．解：（1）
，
，且
.
，即
，又
，
……..2分
又由
，
5分
（2）由正弦定理得：
，
7分
又
，
…………9分
，則
.則
，
即
的取值范圍是
…………………
12分
19.（本小題滿分12分）
（1）解：設“射手射擊1次，擊中目標”為事件A
則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率
=
7分
（2）解：射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率
12分
20. (本小題滿分12分)
（Ⅰ）解：
，令
，得
.
2分
0
增
極大值
減
由上圖表知：
的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
的極大值為
.
5分
（Ⅱ）證明：對一切
，都有
成立
則有
由（Ⅰ）知，的最大值為
，
并且
成立，
8分
當且僅當
時成立，
函數
的最小值大于等于函數
的最大值，
但等號不能同時成立.
所以，對一切，都有成立. 12分
21．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：由已知：對于
，總有
①成立
∴
（n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵
均為正數，∴
（n ≥ 2）
∴數列
是公差為1的等差數列
又n=1時，
， 解得
=1
∴
.(
)
……………4分
（Ⅱ）(解法一)由已知 
，
易得 
猜想 n≥2 時，
是遞減數列.
令
∵當
∴在
內
為單調遞減函數.
由
.
∴n≥2 時, 
是遞減數列.即是遞減數列.
又
, ∴數列中的最大項為
. …………… 6分
(解法二) 猜測數列中的最大項為.
易直接驗證;
以下用數學歸納法證明n≥3 時, 
(1)當
時, 
, 所以時不等式成立;
(2)假設
時不等式成立,即
,即
,
當
時, 
,
所以
,即時不等式成立.
由(1)(2)知對一切不小于3的正整數都成立.
…………… 8分
(Ⅲ)(解法一)當
時,可證: 
…………… 10分
…………… 12分
(解法二) 
時, 
……8分
…………… 12分
注:也可分段估計,轉化為等比數列求和(也可加強命題,使用數學歸納法)
22．（本小題滿分12分）
解：（I）由
故
的方程為
點A的坐標為（1，0）
2分
設
由
整理
4分
動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，
長軸長為
，短軸長為2的橢圓。
5分
（II）如圖，由題意知
的斜率存在且不為零，
設方程為
①
將①代入，整理，得
7分
設
、
，
則
②
令
由此可得
由②知
，
即
10分
解得
又
面積之比的取值范圍是
12分
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