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西安中學

師大附中

高2009屆第二次模擬考試

高新一中

長安一中

 數(shù)學試題（理科）

命題人：西安中學   薛黨鵬

審題人：長安一中   岳建良

 

 

 

 

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分,考試時間120分鐘.

　                    第I卷 (選擇題，共60分)

一、選擇題：本大題共12小題  每小題5分，共60分  在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 

1．集合，，則=

試題詳情

A.     B.　

試題詳情

C.　　 　D.

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2. 函數(shù)y＝8sin4xcos4x的最小正周期是

A.2π            B.4π                C.                  D.

試題詳情

3． ＝

試題詳情

A. i           B.－i               C.                  D.－

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4. 下列函數(shù)中，在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

試題詳情

A.     B.    

試題詳情

  C.     D.

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5. 若，則標準正態(tài)總體在區(qū)間（―3，3）內取值的概率為

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       A．0.9987         B．0.9974               C．0.9944                D．0.8413

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6. 已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是

試題詳情

A．          B． 

試題詳情

C．          D．

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7.  

試題詳情

A.            B.2         C.              D.

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8.若雙曲線的離心率為2,則雙曲線的離心率為

試題詳情

A．        B．           C．2            D．

試題詳情

9. 設，則下列不等式中成立的是

試題詳情

         A．        B． 

試題詳情

C．    D．

試題詳情

10．設為所在平面內一點，且，則的面積與的面積之比為

試題詳情

A．           B．        C．            D．

試題詳情

11. 從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為

試題詳情

A．          B．       C．             D．

試題詳情

12. 已知為定義在上的可導函數(shù),且對于恒成立,則

試題詳情

A. ,    

試題詳情

 B. ,

試題詳情

C. ,    

試題詳情

        D.,

第II卷（共90分）

試題詳情

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分  把答案填在題中橫線上 

13.已知正數(shù)、滿足，則的最小值為________.

試題詳情

14. 表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為        ．

試題詳情

15. 二項式的展開式中的常數(shù)項為________.(結果用數(shù)值作答).

試題詳情

16. 如果一個函數(shù)的圖象關于直線對稱,則稱此函數(shù)為自反函數(shù). 使得函數(shù)為自反函數(shù)的一組實數(shù)的取值為________

試題詳情

    三、解答題：本大題共6小題，共74分  解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

17．（本題滿分12分）已知函數(shù).

試題詳情

（Ⅰ）在所給的坐標紙上作出函數(shù)的圖象(不要求寫出作圖過程).

試題詳情

（Ⅱ）令，.求函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標.

試題詳情

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18. (本題滿分12分) 按照新課程的要求, 高中學生在每學期都要至少參加一次社會實踐活動(以下簡稱活動). 該校高2010級一班50名學生在上學期參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．

試題詳情

（I）求該班學生參加活動的人均次數(shù)；

試題詳情

（II）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率．

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（III）從該班中任選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．

（要求：答案用最簡分數(shù)表示）

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19．（本題滿分12分）如圖所示，在矩形中，，點是的中點，將沿折起到的位置，使二面角是直二面角.

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（Ⅰ）證明：；

試題詳情

（Ⅱ）求二面角的正切值.

 

 

試題詳情

21. （本題滿分12分）已知橢圓Γ的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線y=x2的焦點，離心率等于.直線與橢圓Γ交于兩點.

（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；

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(Ⅱ) 橢圓Γ的右焦點是否可以為的垂心？若可以,求出直線的方程；若不可以,請說明理由.

試題詳情

21.（本題滿分12分）設函數(shù)的定義域為，記函數(shù)的最大值為.

試題詳情

（Ⅰ）求的解析式;

試題詳情

（Ⅱ）已知,試求實數(shù)的取值范圍.

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22. （本題滿分14分）已知正項數(shù)列滿足對一切,有，其中.

試題詳情

(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;

試題詳情

(Ⅱ) 求證: 當時, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

西安中學

師大附中

高2009屆第一次模擬考試

高新一中

長安一中

數(shù)學答題紙（理科）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

二、填空題:(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.          ,   14.          .  15.          .   16.          .

試題詳情

三、解答題:(本大題共6小題，共74分)

17.（Ⅰ）

試題詳情

（Ⅱ）

 

 

 

 

 

試題詳情

18. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

   （Ⅱ）

 

 

 

 

 

試題詳情

19. （Ⅰ）

 

試題詳情

 

（Ⅱ）

  

 

 

 

 

 

 

試題詳情

20. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    （Ⅱ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

21. （I）

 

 

 

 

 

 

 

(II)

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

22. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅱ）

 

 

 

 

 

 

西安中學

師大附中

高2009屆第二次模擬考試

高新一中

長安一中

試題詳情

一.選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

B

D

A

D

D

A

B

A

二.填空題

   13. .;       14. ;      15. 15;         16. ,可以填寫任意實數(shù)

三、解答題

17．（Ⅰ）

(Ⅱ)

由得,從而,即 .所以,函數(shù)與軸交點的橫坐標為.           12分

18.由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數(shù)分別為5、25和20．

（I）該班學生參加活動的人均次數(shù)為=．     3分

（II）從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為．                                               6分

（III）從該班中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．易知

；                     8分

.                                     10分

的分布列：

0

1

2

的數(shù)學期望：．                            12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分

（Ⅱ）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC

垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂線定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，�！�，

即二面角D′―BC―E的正切值為.                         12分

法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，則

設平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

由.取 

∴。 

∴二面角D′―BC―E的的正切值為.

20. (Ⅰ）設C方程為，則b = 1.

∴橢圓C的方程為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）假設存在直線,使得點是的垂心.易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.設直線的方程為，代如橢圓的方程，并整理可得.設，則，.于是

解之得或.

當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意.當時，經(jīng)檢驗知和橢圓相交，符合題意.  所以，當且僅當直線的方程為時, 點是的垂心.        12分

21. （Ⅰ）注意到當時, 直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論.

(1) 當a>0時，函數(shù)y=, 的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由<0知在上單調遞增，∴.

(2)當a=0時，, ,∴.      3分

(3)當a<0時,函數(shù)y=, 的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若，即則                4分

若，即,則       5分

若，即,則.              6分

綜上有                                7分

（Ⅱ）當時，，所以， g(a)在上單調遞增，于是由g(a)的不減性知等價于或

解之得或.所以，的取值范圍為.               12分

22.(Ⅰ)對一切有，即  ,      ()                            4分

由及兩式相減,得:

 

       

       ∴是等差數(shù)列,且, .                                    8分

說明:本小題也可以運用先猜后證(數(shù)學歸納法)的方法求解.給分時,猜想正確得3分,證明給5分.

(Ⅱ) 由,知,因此,只需證明.                                              10分

當或時,結論顯然成立.當時,

   

所以,原不等式成立.                                                          14分

 

 


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