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題  號

一

二

三

總  分

1-10

11-13

14

15

16

17

18

得  分

 

 

 

 

 

 

 

 

上海市閘北區(qū)2009屆高三模擬考試卷

數(shù)學（理科）

（考試時間：120分鐘  滿分：150分）

 得分

評卷人

 

 

 

                     一．填空題 (本大題滿分50分）本大題共有10題，只要求直接填寫結(jié)果，

1．函數(shù)的定義域為___________.

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2．若，則的值為            ．

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3．增廣矩陣為的線性方程組的解用向量的坐標形式可表示為           ．

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4．若展開式的第9項的值為12，則=         ．

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5．已知向量和的夾角為，，且，則________．

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6．在極坐標系中，定點A，點B在曲線上運動，當線段AB最短時，點B的極坐標是              ．

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文本框: 7．設圓C與雙曲線的漸近線相切，且圓心在雙曲線

的右焦點，則圓C的標準方程為                   .

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8．方程的實數(shù)解的個數(shù)為           ．

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9．如圖1是一個跨度和高都為2米的半橢圓形拱門，則能通過該拱門

的正方形玻璃板（厚度不計）的面積范圍用開區(qū)間表示是__________．        圖1

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10．設，且，則的取值范圍為            ．

 得分

評卷人

 

 

 

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11．已知復數(shù)，則……………………………………………………（     ）

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A．                  B．               C．                    D．

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12．過點，且與向量平行的直線的方程是…………………………(     )

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A．      B．   C．  D．

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13．在中，設、、分別是、、所對的邊長，且滿足條件，則面積的最大值為………………………………………………………………… (     )

試題詳情

A．                     B．                   C．                 D．

 得分

評卷人

 

 

 

試題詳情

三．解答題 (本大題滿分85分)本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.

如圖2，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，為的中點．

試題詳情

（Ⅰ）求異面直線OC與MD所成角的大��；

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（Ⅱ）求點M到平面的距離．

 

 

 

 

 

 

 

 

 得分

評卷人

 

 

 

                      一種填數(shù)字彩票2元一張，購買者在卡上依次填上0~9中的兩個數(shù)字（允許重復）．中獎規(guī)則如下：

如果購買者所填的兩個數(shù)字依次與開獎的兩個有序數(shù)字分別對應相等，則中一等獎10元；

如果購買者所填的兩個數(shù)字中，只有第二個數(shù)字與開獎的第二個數(shù)字相等，則中二等獎2元；

其他情況均無獎金．

（Ⅰ）小明和小輝在沒有商量的情況下各買一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；

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（Ⅱ）設“購買一張這種彩票中一等獎”為事件A，“購買一張這種彩票中二等獎”為事件B，請指出事件的含義，并求事件發(fā)生的概率；

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（Ⅲ）設購買一張這種彩票的收益為隨機變量，求的數(shù)學期望．

 

 

 

 得分

評卷人

 

 

 

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設，其中實常數(shù)．

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（Ⅰ）求函數(shù)的定義域和值域；

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（Ⅱ）試研究函數(shù)的基本性質(zhì)，并證明你的結(jié)論．

 得分

評卷人

 

 

 

試題詳情

將數(shù)列中的所有項按第一行排3項，以下每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：

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試題詳情

      

試題詳情

        

……

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記表中的第一列數(shù)，，，… ，構(gòu)成數(shù)列．

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（Ⅰ）設，求的值；

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（Ⅱ）若，對于任何，都有，且．求數(shù)列 的通項公式；

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（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數(shù)列，若上表中每一行的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且，求上表中第（）行所有項的和．

 

 

       得分

      評卷人

       

       

       

      試題詳情

                            18．（本小題滿分20分）

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      和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡．一般來說，在空間直角坐標系中，空間曲面的方程是一個三元方程．

      試題詳情

      （Ⅰ）在直角坐標系中，求到定點的距離為3的動點的軌跡（球面）方程；

      試題詳情

      文本框: （Ⅱ）如圖3，設空間有一定點到一定平面的距離為

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      常數(shù)，即，定義曲面為到定點與到

      試題詳情

      定平面的距離相等（）的動點的軌跡，

      試題詳情

      試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求曲面的方程；                圖3

      試題詳情

      （Ⅲ）請類比平面解析幾何中對二次曲線的研究，討論曲面的幾何性質(zhì)．并在圖4中通過畫出曲面與各坐標平面的交線（如果存在）或與坐標平面平行的平面的交線（如果必要）表示曲面的大致圖形．畫交線時，請用虛線表示被曲面自身遮擋部分．

       

       

       

       

       

       

       

      閘北區(qū)09屆高三數(shù)學（理）學科模擬考試

      試題詳情

      一．填空題：

      1．；    2．；                 3．       4．2；           5．；

      6. ；   7．；  8．3；          9．；     10．．

      二．選擇題：11．B ；     12．C；     13．C．

      三．解答題：

      14．[解]（Ⅰ）方法一（綜合法）設線段的中點為，連接，

      則為異面直線OC與所成的角（或其補角）  ………………………………..1分

             由已知，可得，

      為直角三角形       ……………………………………………………………….1分

      ，  ……………………………………………………………….4分

      ．

      所以，異面直線OC與MD所成角的大小．   …………………………..1分

      方法二(向量法)

      以AB,AD,AO所在直線為軸建立坐標系，

      則, ……………………………………………………2分

      ，， ………………………………………………………………………………..1分

       設異面直線OC與MD所成角為，

      ．……………………………….. …………………………2分

       OC與MD所成角的大小為．…………………………………………………1分

      （Ⅱ）方法一（綜合法）

      作于， ……………………………………………………………………………1分

      且，平面

      平面 ………………………………………………………………………………4分

      所以，點到平面的距離 …………………………………………………2分

      方法二(向量法)

      設平面的一個法向量，

      …………………………………………………………………2分

      ．

      ……………………………………………………………………………………….2分

      設到平面的距離為

      則．……………………………………………………………………3分

      15．[解]（Ⅰ）設“小明中一等獎”為事件 ，“小輝中一等獎”為事件 ，事件與事件相互獨立，他們倆都中一等獎，則

      所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為． ………………………………..4分

      （Ⅱ）事件的含義是“買這種彩票中獎”，或“買這種彩票中一等獎或中二等獎”…1分

      顯然，事件A與事件B互斥，

      所以， ………………………………..3分

      故購買一張這種彩票能中獎的概率為．……………………………………………………..1分

      （Ⅲ）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，的分布列如下：

       

      …………………………………………..………………………………………………….3分

      購買一張這種彩票的期望收益為損失元．…………………………………………………..3分

      16．[解] （Ⅰ）由于恒成立，所以函數(shù)的定義域為………………..2分

      ，

      （1）當時，函數(shù)，函數(shù)的值域為…………………………1分

      （2）當時，因為，所以，

      ，從而，………………………………………………..3分

      所以函數(shù)的值域為．   ……………………………………………………….1分

      （Ⅱ）假設函數(shù)是奇函數(shù)，則，對于任意的，有成立，

      即

      當時，函數(shù)是奇函數(shù)．  …………………………………………………….2分

      當時，函數(shù)是偶函數(shù)．  ………………………………………………..2分

      當，且時，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．  ………………………………….1分

      對于任意的，且，

      ………………………………………..3分

      所以，當時，函數(shù)是常函數(shù)   ………………………………………..1分

      當時，函數(shù)是遞減函數(shù)．   ………………………………………..1分

      17．[解]（Ⅰ）由題意，……………………………6分

      （Ⅱ）解法1：由且知

      ，，

      ，，

      因此，可猜測（）     ………………………………………………………4分

      將，代入原式左端得

      左端

      即原式成立，故為數(shù)列的通項．……………………………………………………….3分

      用數(shù)學歸納法證明得3分

      解法2：由 ，

      令得，且

      即，……… ……………………………………………………………..4分

      所以

      因此，，．．．，

      將各式相乘得………………………………………………………………………………3分

      （Ⅲ）設上表中每行的公比都為，且．因為，

      所以表中第1行至第9行共含有數(shù)列的前63項，故在表中第10行第三列，………2分

      因此．又，所以． …………………………………..3分

      則．…………………………………………2分

      18．[解]（Ⅰ）動點的軌跡是以為原點，以3為半徑的球面 ……………………………1分

      并設動點的坐標為，動點滿足．

      則球面的方程為． …………………………………………………4分

      （Ⅱ）設動點，則

      所以  ……………………………………………………………5分

      整理得曲面的方程：      （*）   …………………………………………2分

      若坐標系原點建在平面上的點處，可得曲面的方程：同樣得分．

      （Ⅲ）（1）對稱性：由于點關于平面的對稱點、關于平面的對稱點均滿足方程（*），所以曲面關于平面與平面對稱．  …………………2分

      又由于點關于軸的對稱點滿足方程（*），所以曲面關于軸對稱．

      （2）范圍：由于，所以，，即曲面在平面上方．  ………………2分

      文本框: （3）頂點：令，得，即坐標原點在曲面上，點是曲面的頂點．  …2分

       

       

      …………………………2分