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甘 肅 省2009年高三年級第二次高考診斷

數(shù) 學(xué) 試 題

 

考生注意

       本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分為150分，考試時間120分鐘。

       所有試題均在答題卡上作答，其中，選擇題用2B鉛筆填涂，其余題詠0.5毫米黑色墨水簽字筆作答。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么             P(A+B)=P(A)+P(B)                        

如果事件A、B相互獨立，那么         P(A?B)=P(A)?P(B)                   

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率         

球的表面積公式      其中R表示球的半徑

球的體積公式         其中R表示球的半徑

 

第Ⅰ卷 （選擇題， 共60分）

 

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

1．設(shè)全集U為實數(shù)集R，集合，則

試題詳情

                                                                                                    （    ）

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       A．         B．  C． D．

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2．的展開式中的常數(shù)項是                                                                      （    ）

       A．-15                     B．15                      C．-30                     D．30

 

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3．（理科）設(shè)隨機變量的值為

                                                                                                                              （    ）

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       A．                   B．                 C．                D．

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  （文科）若的值是                                           （    ）

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       A．                   B．                      C．                      D．

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4．若實數(shù)滿足條件，則的取值范圍是                               （    ）

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       A．               B．                 C．               D．

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5．（理科）若函數(shù)，則此函數(shù)圖象在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為（    ）

       A．0                        B．銳角                   C．直角                   D．鈍角

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  （文科）若函數(shù)，則此函數(shù)圖象在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為

                                                                                                                              （    ）

       A．0                        B．銳角                   C．直角                   D．鈍角

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6．等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且，則數(shù)列{an}前n項和為Sn取最大值時n=（    ）

       A．6                        B．5                        C．5或6                 D．6或7

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7．在邊長為2的等邊△ABC中，O為△ABC的中點，則=                       （    ）

       A．-2                       B．2                        C．1                        D．-4

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8．若為銳角，則下列各式中可能成立的是                                                         （    ）

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       A．                             B．

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       C．                             D．

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9．正四面體ABCD的棱長為1，G是底面△ABC的中點，M在線段DG上且使

   ∠AMB=90°。則GM的長等于                                                                         （    ）

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       A．                      B．                   C．                   D．

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10．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1⊥MF2的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率

       的取值范圍是                                                                                                  （    ）

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       A．                B．                C．             D．

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11．（理科）來自中國、英國、瑞典的乒乓球裁判員各兩名，執(zhí)行世錦賽的一號、二號和三號場地的乒乓球裁判工作，每個場地由兩名來自不同國家的裁判組成，則不同的安排方案共有                                          （    ）

       A．48種                  B．24種                  C．36種                  D．96種

   （文科）5人排成一行，其中甲、乙不相鄰的排法有                                         （    ）

       A．12種                  B．48種                  C．72種                  D．120種

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12．定義在R上的函數(shù)、，其中是奇函數(shù)，且和都有反函數(shù)，

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       若的圖像關(guān)于直線對稱，g（3）=1000，則f（-7）=（    ）

       A．1002                   B．-1002                  C．998                     D．-998

    橫線上。

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二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的

13．設(shè)地球半徑為R，甲、乙兩地在同一條經(jīng)線上，且甲地位于北緯60°，乙地位于赤道上，

       則甲乙兩地的球面距離為              。

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14．定義一種新運算“+”為x+y=ax+by，（a、b為常數(shù)）。若1+2=5，2+3=8，那么

       3+4=            。

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15．（理科）4個相同的白球和3個相同的黑球，隨機地排成一行，不同的排法有m種，其

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       中有且僅有2個黑球相鄰的排法為n種，則               。（用數(shù)字作答）

    • 20090504

           上標以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積為0的概率為        。

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    16．右圖是楊輝三角的一部分，下列關(guān)于楊輝三角

    試題詳情

           的幾個判斷（其中）

    試題詳情

           ①第k行的第r個數(shù)為；

           ②第k行的所有數(shù)之和是第k-1行所有數(shù)之和的

          2倍；

           ③前k行所有數(shù)之和是2k；

           ④從第k行起，將每行的第r-1個數(shù)與r個數(shù)作比，

               把這些比值順次排列，可構(gòu)成等差數(shù)列。

           其中正確結(jié)論的編號是           （寫出所有正確的編號）

    試題詳情

    三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

    17．（本小題滿分10分）

    試題詳情

           在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別是a、b、c，已知c邊長為2，角C為

       （1）求△ABC面積的最大值；

       （2）若sinB=2sinA，求△ABC的周長。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    試題詳情

    18．某學(xué)校舉行了一次課外文學(xué)知識競賽，其中一道題是連線題。要求將4名不同的作家與他們所著的4本不同的著作一對一連線，每連對一條得3分，連錯得-1分，有一位參賽者隨記用4條線把作家與著作一對一全部連接起來。

       （1）球該參賽者恰好連對一條的概率。

    試題詳情

       （2）（理科做）設(shè)為該參賽者此題的得分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

           （文科做）求該參賽者此題得分為非負數(shù)的概率。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    試題詳情

    19．（本小題滿分12分）

           如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE=CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點F是AE的中點。

       （1）求證DF∥平面ABC；

    試題詳情

       （2）求AB與平面BDF所成角的大小。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    試題詳情

    20．（本小題滿分12分）

    試題詳情

           已知各項均為整數(shù)的數(shù)列{an}滿足且的等差中

           項。

       （1）求數(shù)列{an}的通項公式；

    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    20090504
            正整數(shù)n的最小值。
    

    試題詳情
    

           （文科做）若求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn。
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    21．（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

           無論m為任何實數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點。
      
（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
    

    試題詳情
    

      
（2）若直線l經(jīng)過雙曲線C的右焦點F與雙曲線C交于P、Q兩點，并滿足，
            求雙曲線C的方程。
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    22．（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

       （理科做）已知函數(shù)處取得極值0.
    

    試題詳情
    

       （1）求實數(shù)的值；
    

    試題詳情
    

       （2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m
            的取值范圍。
    

    試題詳情
    

       （3）證明：對任意的正整數(shù)n＞1，不等式都成立。
    

    試題詳情
    

       （文科做）設(shè)x1、x2（x1≠x2）是函數(shù)的兩個極值點。
    

    試題詳情
    

       （1）若x1=-1，x2=2，求函數(shù)的解析式；
    

    試題詳情
    

       （2）若，求b的最大值。
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

     
    一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
    題號
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    答案
    D
    B
    理C
    文B
    C
    理D
    文B
    C
    A
    B
    D
    C
    理A
    文C
    B
    二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
    13．                        14．11                     15．（理）（文）16．②④
    三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步
        驟。
    17．本小題滿分10分
           解：（1）由余弦定理及已知條件得，                                  1分
           ∵                          3分
           ∴                                               5分
       （2）由正弦定理及已知條件得，b=2a                                                               7分
           聯(lián)立方程組                                   9分
           ∴△ABC的周長為                                          10分
    18．本小題滿分12分
           解：（1）記“該參賽者恰好連對一條線”為事件A。
           則                                                            （理）4分（文）6分
       （2）（理科）的所有可能取值為-4、0、4、12                                              5分
           
                                                                                               9分
           的分布列為
    -4
    0
    4
    12
    3/8
    1/3
    1/4
    1/24
           E=                                                       12分
       （文科）該參賽者所有可能得分為-4、0、4、12.                                               7分
           得0分的概率為                                                                    8分
           得4分的概率為                                                                     9分
           得12分的概率為                                                                     10分
           ∴該參賽者得分為非負數(shù)的概率為          12分
    19．本小題滿分12分
           解：（1）取AB的中點G，連接CG，F(xiàn)G，
           則FG∥BE，且FG=BE，
           ∴FG∥CD，且FG=CD，2分
           ∴四邊形FGCD是平行四邊形，
           ∴DF∥CG，
           又∵CF平面ABC，
           ∴DF∥平面ABC,     6分
      
（2）解法一：設(shè)A到平面BDF的距離為h，
           由                                                         8分
           在△BDF中，
           且CB=2,∴                                                                                            10分
           設(shè)AB于平面BDF所成的角為，則
           故AB與平面BDF所成的角為                                                           12分
           解法二：以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角
           坐標系，則
           B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），
           F（1，0，1）�！�       8分
           ∴ =（0，2，1），=（1，-2，0）……………………………………………       8分
           設(shè)平面BDF的一個法向量為n=（2，a，b），
           ∵ n⊥，n⊥，∴ 
    即解得 
           ∴ n=（2，1，-2）……………………………10分
           又設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法線n與所成的角為，
           ∴cos()===,
           即sin,故AB與平面BDF所成的角為arcsin.…………………………… 12分
    20．本小題滿分12分
           解：（1）∵-=0,因為（）（）=0，
           ∵數(shù)列的各項均為正數(shù)，∴>0，∴=0，
           即所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列…………………………………3分
           ∴是的等差中項，∴，∴
           ∴數(shù)列的通項公式………………………………………………  6分
       （2）由（1）及log得，，…………………………………   8分
           ∵…
           ∴-…-                         
      ①
           ∴-…-                          ②
           ②-①得，+…+
           =………………………  （理）10分（文）12分
           要使>50成立，只需 >50成立，即>52，n
           ∴使>50成立的正整數(shù)n的最小值為5。………………………（理）12分
    21．本小題滿分12分
           解：（1）由得（）………………1分
           當時直線與雙曲線無交點，這和直線與雙曲線恒有公共點矛盾，
           ∴≠2，e≠…………………………………………………………………………2分
           當≠2時，=恒成立，
           即恒成立，
           ∵>0，∴，∴，……………………………………3分
           ∵
           ∵（）=2，∴ ∴
           綜上知………………………………………………………………………6分
       （Ⅱ）設(shè)F（c,0）,則l:y=x-c,將x=y+c代入雙曲線方程，得
           
           整理得…………………………………………7分
           設(shè)兩交點為P（），Q，則
           ∵=∴……………………………………………………………8分
           ∴消去得
           ………………………………………………………………10分
           ∴>0且∴∴
           ∴所求雙曲線C的方程為………………………………………………12分
    22．本小題滿分12分
       （理科）解：（1）……………………………………………2分
           ∵x=0時，取極值0，∴………………………………………………3分
           解得a=1,b=0.經(jīng)檢驗a=1,b=0符合題意�！�4分
       （2）由a=1,b=0知由
           得
           令則在上恰有兩個不同的實數(shù)
           根等價于在上恰有兩個不同實數(shù)根。
        當時，<0，于是在（0，1）上單調(diào)遞減；
           當時，>0，于是在（1，2）上單調(diào)遞增�！�7分
           依題意有<0，∴…………………8分
       （3）的定義域為>，
           由（1）知
    當單調(diào)遞減。
           當x＞0時，＞0，單調(diào)遞增。
           ∴f（0）為在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）
           又f（0）=0，故（當且僅當x=0，等號成立）                     10分
           對任意正整數(shù)n，取
           故
           =                                                                              12分
       （文科）解：（1）∵       1分
           依題意有                                       3分
           解得                                                                                                  4分
           ∴                                                                             5分
       （2）∵，依題意x1、x2是方程=0的兩個根，
           由∴                               7分
           設(shè)
           由                                                  9分
           即函數(shù)在區(qū)間（0，4）上是增函數(shù)，在區(qū)間（4，6）上是減函數(shù)
           當時，有極大值為96，∴在（0，6）上的最大值是96          10分
           ∴b的最大值為4                 12分