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鎮(zhèn)江市2009屆高三解析幾何專項(xiàng)練習(xí)

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過(guò)點(diǎn)A的入射光線l1被直線l：反射，反射光線l2交y軸于B點(diǎn)．圓C過(guò)點(diǎn)A且與l1、l2相切．

（1）求l2所在的直線的方程和圓C的方程；

（2）設(shè)P、Q分別是直線l和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求PB+PQ的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解：

1．（Ⅰ）直線設(shè)．

 的傾斜角為，

反射光線所在的直線方程為

．   即．

已知圓C與

圓心C在過(guò)點(diǎn)D且與垂直的直線上，  ①

又圓心C在過(guò)點(diǎn)A且與垂直的直線上，　②，由①②得，

圓C的半徑r=3．

故所求圓C的方程為．  

 

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，

則            

得．固定點(diǎn)Q可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)共線時(shí)，最小，

故的最小值為為．              

，得最小值．

 

 

 

 

 

2．(本小題滿分15分)

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，和為兩等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．設(shè)和的外接圓圓心分別為,．

（Ⅰ）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程；

（Ⅱ）若直線AB截⊙N所得弦長(zhǎng)為4，求⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅲ）是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為，若存在，求此時(shí)⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說(shuō)明理由．

 

2 ．解：（Ⅰ）圓心．

∴圓方程為，

直線CD方程為．           

∵⊙M與直線CD相切,

∴圓心M到直線CD的距離d=,         

化簡(jiǎn)得： （舍去負(fù)值）．

∴直線CD的方程為．          

（Ⅱ）直線AB方程為：，圓心N ．

  ∴圓心N到直線AB距離為．  

∵直線AB截⊙N的所得弦長(zhǎng)為4，

∴．

∴a=±(舍去負(fù)值) ．                      

∴⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為．   

（Ⅲ）存在．

由（Ⅱ）知，圓心N到直線AB距離為(定值)，且AB⊥CD始終成立，

∴當(dāng)且僅當(dāng)圓N半徑,即a=4時(shí)，⊙N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為 ．       

此時(shí)， ⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為．       

 

3.(本題滿分16分)

  設(shè)曲線Ｃ：的離心率為，右準(zhǔn)線與兩漸近線交于Ｐ，Ｑ兩點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為Ｆ，且△PQF為等邊三角形。

 （1）求雙曲線C的離心率；

 （2）若雙曲線C被直線截得弦長(zhǎng)為，求雙曲線方程；

   （3）設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)，以F為左焦點(diǎn)，為左準(zhǔn)線的橢圓的短軸端點(diǎn)為B，求BF 中點(diǎn)的軌跡N方程。

 

3. 解：⑴如圖：易得P                           

設(shè)右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為M，

∵△PQF為等邊三角形

∴|MF|=|PM|                                   

∴

化簡(jiǎn)得：                                       

∴

∴            

 ⑵ 由⑴知：

∴雙曲線方程可化為：，即   

聯(lián)列方程：

消去得：

由題意：    （*）                           

設(shè)兩交點(diǎn)A，B

則

∴|AB|==

化簡(jiǎn)得：，即

解得：或，均滿足（*）式              

∴  或

∴所求雙曲線方程為：或   

  ⑶由⑴知雙曲線C可設(shè)為：

∵其過(guò)點(diǎn)A      ∴

∴雙曲線C為：                          

∴其右焦點(diǎn)F，右準(zhǔn)線：

設(shè)BF的中點(diǎn)N，則B               

由橢圓定義得：（其中為點(diǎn)B到的距離）

∴

化簡(jiǎn)得：

∵點(diǎn)B是橢圓的短軸端點(diǎn)，故

∴BF的中點(diǎn)的軌跡方程是：（或）

 

 

4.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1,4），曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線垂直。

（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求m的取值范圍。

 

              
   
              
    
    
              
    
               
              解得a=1,b=3
              （2）
               
               
              6.（本小題滿分12分）
              已知直線相交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB上的一點(diǎn)，，且點(diǎn)M在直線上.
                 （Ⅰ）求橢圓的離心率；
                 （Ⅱ）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程.
              6.解：（Ⅰ）由知M是AB的中點(diǎn)，
              設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
              由
              ，
              ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為                                 
              又M點(diǎn)的直線l上：
                    
                 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為關(guān)于直線l：
              上的對(duì)稱點(diǎn)為，
              則有                       
              由已知
              ，∴所求的橢圓的方程為                       
              7.已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，
              而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)。
              （1）求雙曲線的方程；
              （2）若直線與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其
              中O為原點(diǎn)），求的范圍
              7．解：（1）設(shè)雙曲線的方程為  
              則，再由得， 
              故的方程為    

              （2）將代入
              得   
              由直線與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)得：
                
              且①            

              設(shè)，則
               
              又，得 
              即，解得：②        

              由①、②得：
              故k的取值范圍為  
              8．（本小題滿分13分）
              已知拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），對(duì)應(yīng)于這個(gè)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為x=-.
              （1）寫出拋物線C的方程；
              （2）過(guò)F點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB重心G的軌跡方程；
              （3）點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓（x-3）2+y2=2的切線，切點(diǎn)分別是M，N.當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.
              解：（1）拋物線方程為：y2=2x.                                       

              （2）①當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k(x-)，代入y2=2x，
              得：k2x2-(k2+2)x+.
              設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，則x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.
              設(shè)△AOB的重心為G（x，y）則，
              消去k得y2=為所求，                                  

              ②當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，A（，1），B（，-1），                

              △AOB的重心G（，0）也滿足上述方程.
              綜合①②得，所求的軌跡方程為y2=，                      

              （3）設(shè)已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=，
              根據(jù)圓的性質(zhì)有：|MN|=2.    

              當(dāng)|PQ|2最小時(shí)，|MN|取最小值，
              設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y=2x0.
              |PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，
              ∴當(dāng)x0=2，y0=±2時(shí)，|PQ|2取最小值5，
              故當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，±2）時(shí)，|MN|取最小值.                     

              9．（本題滿分14分）已知圓，直線 ，與圓交與兩點(diǎn)，點(diǎn)
              。
              （1）當(dāng)時(shí)，求的值；   （2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。
              9.解：（1）圓的方程可化為，故圓心為，半徑
              當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，又，故直線過(guò)圓心，∴…… 
                從而所求直線的方程為                     

              （2）設(shè)由得
                        
  即
              ∴           
①        

              聯(lián)立得方程組，化簡(jiǎn)，整理得
                         
………….(*)
              由判別式得且有。。
              代入 ①式整理得,從而，又
              ∴可得k的取值范圍是。。
               
              10．（本小題滿分14分）已知△ABC三頂點(diǎn)分別為A（－3，0），B（3，0），C（x，y）.
                 （1）當(dāng)BC邊上的高所在直線過(guò)點(diǎn)D（0，2）時(shí)，求點(diǎn)C的軌跡方程；
                 （2）△ABC的周長(zhǎng)為16時(shí)，點(diǎn)C在以A，B為焦點(diǎn)的橢圓上，求橢圓方程；
                 （3）若斜率為k的直線與（2）中的橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，求證：當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí)MN的中點(diǎn)恒在一條過(guò)原點(diǎn)的直線上.
              解：10．（1）A（－3，0），B（3，0），D（0，2），C（x，y）
                  則＝（3，2），=（x－3，y）
                  由得3（x－3）+2y=0
                  ∴C點(diǎn)的軌跡方程為3x+2y－9=0
                 （2）三角形周長(zhǎng)等于16，則|AC|+|BC|=2a=10
                  a=5，c=3，b=4，橢圓
                 （3）設(shè)斜率為k的直線方程為y=kx+m，
                  則由得（16+25k2）x2+50km+25m2－400=0
                  △>0時(shí)設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN中點(diǎn)G（x，y）
                  由有x1+x2=
                  y 1+y2=k（x1+x2）+2b=
                  ∴（k為常數(shù)，m為參數(shù)）
                  ∴G點(diǎn)軌跡方程為
                  即y=－， 當(dāng)k=0時(shí)，G點(diǎn)的軌跡為y軸所在的線段；
                  當(dāng)k≠0時(shí)，G點(diǎn)軌跡方程y=－
                  即當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí)，MN的中點(diǎn)恒在一條過(guò)原點(diǎn)的直線上。