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北京明光中學(xué)2009屆高三教學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題

　一.選擇題（每題5分，共60分）。
1、已知集合，則集合=（　　 ）
　　A．{}　 　　　 B．{}　　　　　
　　C．{} 　　 D．{}
2、設(shè)實(shí)數(shù)a∈[-1,3], 函數(shù)f(x)=x²-(a+3)x+2a，當(dāng)f(x)>1時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　 ）
　　A、[-1,3]　　 B、(-5,+∞)　　 C、(-∞,-1)∪(5,+∞)　　 D、(-∞,1)∪(5,+∞)
3、已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2，+∞）是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　 ）
　　A、（-∞，4） 　　B、（0,12）　　C、（-4，4）　　D、（0,4）
4、已知函數(shù)，那么f^-1(1)的值等于（ 　　）。
　A、0　　 B、-2　　 C、　　 D、
5、將y=2^x的圖象（　　 ），再作關(guān)于直線y=x對稱的圖象，可得函數(shù)y=log₂(x+1)的圖象。
　　A、先向左平移一個(gè)單位　　 B、先向右平移一個(gè)單位
　　C、先向上平移一個(gè)單位　　 D、先向下平移一個(gè)單位
6、一個(gè)棱錐被平行于底面的截面截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺（用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺），若小棱錐的體積為y，棱臺的體積為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致形狀為（　 �。�。

　　
7、已知數(shù)列，那么“對任意的，點(diǎn)都在直線上”是“為等差數(shù)列”的 （　　 ）
　　(A)必要而不充分條件　　 (B)充分而不必要條件
　　(C)充要條件　　　　　　 (D)既不充分也不必要條件
8、如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點(diǎn)。那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于（　　 ）

(A)　　(B)　　(C)　　(D)
9、若為圓的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（　　 ）
　　(A)　　(B)
　　(C)　　(D)
10、函數(shù))為增函數(shù)的區(qū)間是(　　 )
　　(A)　　(B)　　(C)　　(D)
11、已知向量a、b滿足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，則|a+b|=（　　 ）
　　A．1　　B．　　C．　　D．
12、已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，則下列命題：
　�、賧=f(x)為偶函數(shù)，則y=f(x+2)的圖象關(guān)于y軸對稱.
　�、趛=f(x+2)為偶函數(shù)，則y=f(x)關(guān)于直線x=2對稱.
　�、廴艉瘮�(shù)f(2x+1)是偶函數(shù)，則f(2x)的圖象關(guān)于直線 對稱.
　�、苋鬴(x-2)=f(2-x)，則y=f(x)關(guān)于直線x=2對稱.
　�、輞=f(x-2)和y=f(2-x)的圖象關(guān)于x=2對稱.
　　其中正確的命題序號是(　　 )
　　A、①②④　 　B、①③④　　 C、②③⑤　　 D、②③④

　　二. 填空題（每題5分，共20分）。
　　13、設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過5次跳動質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3，0）（允許重復(fù)過此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動方法共有________種（用數(shù)字作答）。
14、若，則。(用數(shù)字作答)
15、兩個(gè)籃球運(yùn)動員在罰球時(shí)投球的命中率為0.7和0.6，每人投籃三次，則兩人都恰好進(jìn)2球的概率是______。(用數(shù)字作答,精確到千分位)
16、曲線關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是___________。

三、解答題（共70分）
17、（本題滿分14分） 在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且。
Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求bc的最大值。
18、（本題滿分14分）
　　如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F。
　　(I)證明 平面；
　　(II)證明平面EFD；
　　

試題詳情

　　一.選擇題（ 5分 × 12 = 60 分 ）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

C

A

D

C

題號

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

A

C

D

C

　　二.填空題（ 5分 × 4 = 20分 ）

　　13、5　　14、1　　15、0.19　　16、

　　三、解答題（共70分）

　　17、（本題滿分14分）
　　在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且。
　　（Ⅰ）求的值；
　�。á颍┤�，求bc的最大值。

　　解: (Ⅰ) 　　=
　　= 　　= 　　=

　　(Ⅱ) ∵ 　　∴ ,
　　又∵ 　　∴ 　　當(dāng)且僅當(dāng) b=c=時(shí),bc=,故bc的最大值是.

　　18、（本題滿分14分）
　　如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F。
　　(I)證明 平面；
　　(II)證明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。

　　方法一：
　　(I)證明：連結(jié)AC，AC交BD于O。連結(jié)EO。
　　底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
　　在中，EO是中位線，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。

　　(II)證明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ①
　　同樣由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC
　　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD

　　(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知，
　　設(shè)正方形ABCD的邊長為，則
　　
　　在中，
　　
　　在中，
　　
　　所以，二面角的大小為

　　方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)
　　(I)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G。連結(jié)EG。
　　依題意得
　　底面ABCD是正方形，
　　是此正方形的中心，
　　故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且
　　
　　。這表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

　　(II)證明：依題意得。又故
　　
　　
　　由已知，且所以平面EFD。

　　(III)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為則
　　
　　從而所以
　　
　　由條件知，即
　　解得 。
　　點(diǎn)F的坐標(biāo)為且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　
　　
　　
　　所以，二面角的大小為

　　19、（本題滿分14分）
　　盒子中有大小相同的球10個(gè)，其中標(biāo)號為1的球3個(gè)，標(biāo)號為2的球4個(gè)，標(biāo)號為5的球3個(gè)，第一次從盒子中任取1個(gè)球，放回后第二次再任取1個(gè)球（假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同）。記第一次與第二次取到球的標(biāo)號之和為。
　　（Ⅰ）試用列舉法表示隨機(jī)變量的取值集合；
　�。á颍┣箅S機(jī)變量任取集合中每一個(gè)值的概率。
　　解:
　�。á瘢┯深}意可得,隨機(jī)變量的取值集合是={2、3、4、6、7、10}。

　�。á颍╇S機(jī)變量取集合={2、3、4、6、7、10}中的每一個(gè)值時(shí)，其概率如下：

2

3

4

6

7

10

P（）

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

　　20、（本題滿分14分）
　　設(shè)a>0，是奇函數(shù)。
　�。�1）試確定a的值；
　�。�2）試判斷f(x)的反函數(shù)f^-1(x)的單調(diào)性，并證明。
　　解：
　�。�1）∵ f(x)為奇函數(shù)， ∴ f(x)+f(-x)=0
　　即對定義域內(nèi)x均成立，
　　解得a=1，即 。

　　因 得，
　　則，
　　∴ f^-1(x₁)<f^-1(x₂)，即f^-1(x)為增函數(shù)。

　　21、（本題滿分14分）
　　一條斜率為1的直線l與離心率的雙曲線(a>0, b>0)交于P、Q兩點(diǎn)，直線l與y軸交于R點(diǎn)，且，求直線和雙曲線方程。

　　解：∵ ， ∴ b²=2a²，∴ 雙曲線方程可化為2x²-y²=2a²,
　　設(shè)直線方程為 y=x+m,
　　由得 x²-2mx-m²-2a²=0,
　　∴ Δ=4m²+4(m²+2a²)>0
　　∴ 直線一定與雙曲線相交。
　　設(shè)P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), 則x₁+x₂=2m, x₁x₂=-m²-2a²,
　　∵ ， ,
　　∴ , ∴
　　消去x₂得，m²=a²,
　　=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁+m)(x₂+m)
　　=2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=m²-4a²=-3
　　∴ m=±1, a²=1, b²=2.
　　直線方程為y=x±1，雙曲線方程為。